משוואה ריבועית היא משוואה שהדרגה הגבוהה ביותר שלה היא 2 (בריבוע). ישנן שלוש דרכים עיקריות לפתור משוואה ריבועית: פקטור המשוואה הריבועית אם אתה יכול, באמצעות נוסחה ריבועית או השלמת הריבוע. אם ברצונך לשלוט בשלוש השיטות הללו, בצע את השלבים הבאים.
שלב
שיטה 1 מתוך 3: משוואות פקטורינג
שלב 1. שלב את כל המשתנים השווים והעבר אותם לצד אחד של המשוואה
הצעד הראשון לפקטור משוואה הוא העברת כל המשתנים השווים לצד אחד של המשוואה, עם x2הוא חיובי. כדי לשלב משתנים, הוסף או הפחת את כל המשתנים x2, x וקבועים (מספרים שלמים), מעבירים אותם לצד השני של המשוואה כך ששום דבר לא יישאר בצד השני. כאשר בצד השני אין משתנים שנותרו, כתוב 0 ליד סימן השווים. כך תעשה זאת:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
שלב 2. הגורם למשוואה זו
כדי להגדיר משוואה זו, עליך להשתמש בפקטור x2 (3) והגורם הקבוע (-4), הכפלתם והוספתם כך שיתאימו למשתנה באמצע, (-11). כך תעשה זאת:
- 3x2 יש רק גורם אפשרי אחד שהוא 3x ו- x, אתה יכול לכתוב אותם בסוגריים: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- לאחר מכן, השתמש בתהליך החיסול לגורם 4 בכדי למצוא את המוצר המניב -11x. אתה יכול להשתמש במוצר של 4 ו -1, או 2 ו -2, כי כאשר אתה מכפיל את שניהם אתה מקבל 4. אבל זכור כי אחד המספרים חייב להיות שלילי כי התוצאה היא -4.
- נסה (3x + 1) (x - 4). כאשר אתה מכפיל אותו, התוצאה היא - פי 32 -12x +x -4. אם אתה משלב את המשתנים -12 x ו- x, התוצאה היא -11x, שזה הערך האמצעי שלך. בדיוק חשבת על משוואה ריבועית.
- לדוגמה, ננסה לפקטור את המוצר האחר: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. אם משלבים את המשתנים התוצאה היא פי 32 -4x -4. למרות שהגורמים של -2 ו -2 כאשר הכפלה מייצרים -4, הממוצע אינו זהה מכיוון שאתה רוצה לקבל ערך של -11x במקום -4x.
שלב 3. נניח שכל סוגר הוא אפס במשוואה אחרת
זה יאפשר לך למצוא 2 ערכים x שיהפכו את המשוואה שלך לאפסית. חישבת את המשוואה שלך, אז כל שעליך לעשות הוא להניח שהחישוב בכל סוגר שווה לאפס. לפיכך, אתה יכול לכתוב 3x + 1 = 0 ו- x - 4 = 0.
שלב 4. פתרו כל משוואה בנפרד
במשוואה ריבועית ישנם 2 ערכים עבור x. פתרו כל משוואה בנפרד על ידי הזזת המשתנים ורשום 2 תשובות עבור x, כך:
-
לפתור 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. על ידי חיסור
- 3x/3 = -1/3….. על ידי חלוקה
- x = -1/3….. על ידי פישוט
-
לפתור x - 4 = 0
x = 4….. על ידי חיסור
- x = (-1/3, 4)….. על ידי הפרדת מספר תשובות אפשריות, כלומר x = -1/3 או x = 4 שתיהן עשויות להיות נכונות.
שלב 5. בדוק x = -1/3 אינץ '(3x + 1) (x -4) = 0:
כך נקבל (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. על ידי החלפת (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. על ידי פישוט (0) (-4 1/3) = 0….. על ידי הכפלה אז, 0 = 0….. כן, x = -1/3 נכון.
שלב 6. בדוק x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
כך נקבל (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. על ידי החלפת (13) (4 - 4)? =? 0….. על ידי פישוט (13) (0) = 0….. על ידי הכפלה אז, 0 = 0….. כן, x = 4 הוא גם נכון.
לכן, לאחר בדיקה בנפרד, שתי התשובות נכונות וניתן להשתמש בהן במשוואות
שיטה 2 מתוך 3: שימוש בנוסחה הריבועית
שלב 1. שלב את כל המשתנים השווים והעבר אותם לצד אחד של המשוואה
הזז את כל המשתנים לצד אחד של המשוואה, עם ערך המשתנה x2 חִיוּבִי. רשום את המשתנים עם מעריכים עוקבים, כך ש x2 נכתב תחילה, ואחריו משתנים וקבועים. כך תעשה זאת:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - איקס2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
שלב 2. רשום את הנוסחה הריבועית
הנוסחה הריבועית היא: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
שלב 3. קבע את הערכים של a, b ו- c מהמשוואה הריבועית
משתנה a הוא המקדם x2, b הוא המקדם של המשתנה x, ו- c הוא קבוע. למשוואה 3x2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 ו- c = -8. רשמו את שלושתם.
שלב 4. החלף את הערכים של a, b ו- c במשוואה
ברגע שאתה מכיר את שלושת הערכים המשתנים, חבר אותם למשוואה כזו:
- {-b +/- √ (ב2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
שלב 5. בצע חישובים
לאחר שהזנת את המספרים, בצע חשבון כלשהו כדי לפשט את הסימן החיובי או השלילי, הכפל או ריבוע את המשתנים הנותרים. כך תעשה זאת:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
שלב 6. פשט את השורש הריבועי
אם המספר מתחת לשורש הריבועי הוא ריבוע מושלם, אתה מקבל מספר שלם. אם המספר אינו ריבוע מושלם, פשט את צורתו השורשית הפשוטה ביותר. אם המספר שלילי ואתה סבור שהוא צריך להיות שלילי, ערך השורש יהיה מסובך. בדוגמה זו, (121) = 11. אתה יכול לכתוב x = (5 +/- 11)/6.
שלב 7. חפש את התשובות החיוביות והשליליות
לאחר הסרת סימן השורש הריבועי, תוכל להתקדם ולמצוא תוצאה חיובית ושלילית עבור x. עכשיו שיש לך (5 +/- 11)/6, אתה יכול לכתוב 2 תשובות:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
שלב 8. השלם את התשובות החיוביות והשליליות
בצע חישובי מתמטיקה:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
שלב 9. לפשט
כדי לפשט כל תשובה, חלקו במספר הגדול ביותר שיכול לחלק את שני המספרים. חלקו את השבר הראשון ב- 2 וחלקו את השני ב- 6, ומצאתם את הערך x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
שיטה 3 מתוך 3: השלם את הכיכר
שלב 1. העבר את כל המשתנים לצד אחד של המשוואה
ודא כי a או משתנה x2 חִיוּבִי. כך תעשה זאת:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
במשוואה זו משתנה a הוא 2, משתנה b הוא -12 והמשתנה c הוא -9
שלב 2. העבר את המשתנה או הקבוע c לצד השני
קבועים הם מונחים מספריים ללא משתנים. עבור לצד ימין של המשוואה:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
שלב 3. חלק את שני הצדדים במקדם a או במשתנה x2.
אם x2 אין משתנה והמקדם הוא 1, אתה יכול לדלג על שלב זה. במקרה זה, עליך לחלק את כל המשתנים ב -2, כך:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- איקס2 - 6x = 9/2
שלב 4. מחלקים b ב- 2, מרובעים אותו, ומוסיפים את התוצאה לשני הצדדים
הערך של b בדוגמה זו הוא -6. כך תעשה זאת:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- איקס2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
שלב 5. פשט את שני הצדדים
פקט את המשתנה בצד שמאל כדי לקבל (x-3) (x-3) או (x-3)2. הוסף את הערכים מימין כדי לקבל 9/2 + 9 או 9/2 + 18/2, שזה 27/2.
שלב 6. מצא את השורש הריבועי לשני הצדדים
שורש ריבועי של (x-3)2 הוא (x-3). אתה יכול לכתוב את השורש הריבועי של 27/2 כ ± √ (27/2). לפיכך, x - 3 = ± √ (27/2).
שלב 7. פשט את השורשים ומצא את הערך של x
כדי לפשט ± √ (27/2), מצא את הריבוע המושלם בין המספרים 27 ו -2 או גורם את המספר הזה. את הריבוע המושלם של 9 אפשר למצוא ב 27 כי 9 x 3 = 27. כדי להוציא 9 מהשורש הריבועי, הוצא 9 מהשורש וכתוב 3, השורש הריבועי, מחוץ לשורש הריבועי. השאר את 3 הנותרים במניין השבר שמתחת לשורש הריבועי, מכיוון ש -27 אינו פועל על כל הגורמים ורשום 2 למטה. לאחר מכן, הזז את הקבוע 3 בצד השמאלי של המשוואה ימינה, וכתוב את שני הפתרונות שלך עבור x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
טיפים
- כפי שאתה יכול לראות, סימני השורש לא ייעלמו לחלוטין. לפיכך, לא ניתן לשלב את משתני המונה (מכיוון שהם אינם שווים). אין טעם להפריד בין חיובי לשלילי. עם זאת, אנו יכולים לחלק אותו באותו גורם, אבל רק אם הגורמים זהים עבור שני הקבועים וגם מקדם שורש.
- אם המספר מתחת לשורש הריבועי אינו ריבוע מושלם, אז השלבים האחרונים מעט שונים. להלן דוגמא:
- אם b הוא מספר זוגי, הנוסחה הופכת: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
