כאשר אתה מוצא לראשונה את המשוואה הקובית (שהיא בצורת גרזן 3 + bx 2 + cx + d = 0), אולי אתה חושב שהבעיה תהיה קשה לפתור. אבל דע שפתרון משוואות קוביות קיים למעשה מאות שנים! פתרון זה, שנתגלה על ידי המתמטיקאים האיטלקים ניקולו טרטאגליה וג'רולאמו קארדאנו בשנות ה -1500, הוא אחת הנוסחאות הראשונות שידועות ביוון העתיקה וברומא. פתרון משוואות מעוקבות עשוי להיות מעט קשה, אך עם הגישה הנכונה (וידע מספיק), ניתן לפתור אפילו את המשוואות הקוביות הקשות ביותר.
שלב
שיטה 1 מתוך 3: פתרון באמצעות משוואות ריבועיות
שלב 1. בדוק אם המשוואה הקובית שלך היא קבועה
כאמור לעיל, צורת המשוואה הקובית היא גרזן 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c, והערך של d יכול להיות 0 מבלי להשפיע על צורת המשוואה הקובית הזו; זה בעצם אומר שהמשוואה הקובית לא תמיד צריכה לכלול את הערך של bx 2, cx, או d להיות משוואה מעוקבת. כדי להתחיל להשתמש בדרך פשוטה למדי לפתרון משוואות מעוקבות, בדוק אם יש למשוואה הקובית שלך קבוע (או ערך של d). אם למשוואה שלך אין קבוע או ערך עבור d, תוכל להשתמש במשוואה ריבועית כדי למצוא את התשובה למשוואה הקובית לאחר מספר צעדים.
מצד שני, אם למשוואה שלך יש ערך קבוע, אז תזדקק לפתרון אחר. עיין בשלבים שלהלן לגישות אחרות
שלב 2. פקטור את ערך x מהמשוואה הקובית
מכיוון שלמשוואה שלך אין ערך קבוע, לכל המרכיבים בה יש את המשתנה x. המשמעות היא שאפשר לחשב את הערך הזה של x מהמשוואה כדי לפשט אותו. בצע שלב זה ושכתב את המשוואה הקובית שלך בצורה x (ax 2 + bx + c).
לדוגמה, נניח שהמשוואה הקובית המקורית כאן היא 3 x 3 + -2 x 2 + 14 x = 0. על ידי פקטור משתנה אחד x ממשוואה זו, נקבל את המשוואה x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
שלב 3. השתמש במשוואות ריבועיות כדי לפתור את המשוואות בסוגריים
ייתכן שתבחין כי חלק מהמשוואות החדשות שלך, המופיעות בסוגריים, הן בצורת משוואה ריבועית (גרזן 2 + bx + c). המשמעות היא שנוכל למצוא את הערך הדרוש כדי להפוך את המשוואה לשווה לאפס על ידי חיבור a, b ו- c לנוסחת המשוואה הריבועית ({- b +/- √ (b 2- 4 דולרים)}/2 א). בצע חישובים אלה כדי למצוא שתי תשובות למשוואה המעוקבת שלך.
-
בדוגמה שלנו, חבר את הערכים של a, b ו- c (3, -2 ו- 14, בהתאמה) למשוואה הריבועית כדלקמן:
-
- {- b +/- √ (ב 2- 4 דולרים)}/2 א
- {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
-
{2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
-
-
תשובה 1:
-
- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12.8 i}/6
-
-
תשובה 2:
-
- {2 - 12.8 i}/6
-
שלב 4. השתמש באפסים ובתשובתך למשוואה הריבועית כתשובה למשוואה הקובית שלך
למשוואות ריבועיות יהיו שתי תשובות, ואילו למשוואות מעוקבות יש שלוש תשובות. אתה כבר יודע שתי תשובות מתוך שלוש; שאתה מקבל מהחלק ה"ריבוע "במשוואה בסוגריים. אם ניתן לפתור את המשוואה הקובית שלך באמצעות "פקטורזציה" כזו, התשובה השלישית שלך היא כמעט תמיד 0. בטוח! בדיוק פתרת משוואה מעוקבת.
הסיבה שגורמת לשיטה זו לפעול היא העובדה הבסיסית כי "כל מספר הכפול באפס שווה לאפס". כאשר אתה מחלק את המשוואה שלך לצורה x (ax 2 + bx + c) = 0, אתה בעצם פשוט מחלק אותו לשני "חלקים"; חלק אחד הוא משתנה x בצד שמאל והחלק השני הוא המשוואה הריבועית בסוגריים. אם אחד משני החלקים הללו הוא אפס, אז המשוואה כולה תהיה גם אפס. לפיכך, שתי התשובות למשוואה הריבועית בסוגריים, שיהפכו אותה לאפס, הן התשובות למשוואה הקובית, כמו גם 0 עצמה - מה שהופך את החלק בצד שמאל לאפס גם הוא.
שיטה 2 מתוך 3: מציאת תשובות שלם באמצעות רשימת גורמים
שלב 1. ודא שלמשוואה הקובית שלך יש ערך קבוע
למרות שהשיטות המתוארות לעיל קלות למדי לשימוש מכיוון שלא צריך ללמוד טכניקת חישוב חדשה כדי להשתמש בהן, הן לא תמיד יעזרו לך לפתור משוואות קוביות. אם המשוואה הקובית שלך היא של ציר הגרזן 3 + bx 2 + cx + d = 0, כאשר הערך של d אינו שווה לאפס, שיטת ה"פקטורטיזציה "למעלה לא עובדת, כך שתצטרך להשתמש באחת מהשיטות בסעיף זה כדי לפתור זאת.
לדוגמה, נניח שיש לנו את המשוואה 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = -6. במקרה זה, כדי לקבל אפס בצד ימין של המשוואה, עלינו להוסיף 6 לשני הצדדים. לאחר מכן, נקבל משוואה חדשה 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0, עם ערך של d = 6, כך שלא נוכל להשתמש בשיטת ה"פקטורטיזציה "כמו בשיטה הקודמת.
שלב 2. מצא את הגורמים של a ו- d
כדי לפתור את המשוואה הקובית שלך, התחל במציאת הגורם של a (מקדם x 3) ו- d (הערך הקבוע בסוף המשוואה). זכור, גורמים הם מספרים שניתן להכפיל זה לזה כדי לייצר מספר מסוים. לדוגמה, מכיוון שאתה יכול לקבל 6 על ידי הכפלת 6 × 1 ו -2 × 3, 1, 2, 3 ו- 6 הם גורמים של 6.
-
בבעיה לדוגמא בה אנו משתמשים, a = 2 ו- d = 6. הגורם 2 הוא 1 ו -2. בעוד שהגורם 6 הוא 1, 2, 3 ו- 6.
שלב 3. חלק את הגורם a בגורם d
לאחר מכן, רשום את הערכים שאתה מקבל על ידי חלוקת כל גורם של a בכל גורם של d. חישוב זה גורם בדרך כלל לערכים שברים רבים וכמה מספרים שלמים. ערך המספר השלם לפתרון המשוואה הקובית שלך הוא אחד מהמספרים השלמים המתקבלים מהחישוב.
במשוואה שלנו, חלק את ערך הגורם של (1, 2) בגורם d (1, 2, 3, 6) וקבל את התוצאות הבאות: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, ו- 2/3. לאחר מכן, הוסף ערכים שליליים לרשימה, ונקבל: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 ו- -2/3. התשובה למשוואה הקובית - שהיא מספר שלם, נמצאת ברשימה.
שלב 4. השתמש בחלוקה סינתטית כדי לבדוק את התשובות באופן ידני
ברגע שיש לך רשימת ערכים כמו זה שלמעלה, תוכל לחפש את ערכי המספר השלם שהם התשובות למשוואה המעוקבת שלך על ידי הזנת כל מספר שלם באופן ידני, ולמצוא איזה ערך מחזיר אפס. עם זאת, אם אינך רוצה להקדיש זמן לכך, יש דרך לעשות זאת מהר יותר, כלומר באמצעות חישוב הנקרא חלוקה סינתטית. ביסודו של דבר, היית מחלק את ערך המספר השלם שלך במקדמים המקוריים של a, b, c ו- d במשוואה הקובית שלך. אם השאר הוא אפס, אז ערך זה הוא אחת התשובות למשוואה המעוקבת שלך.
-
חלוקה סינתטית היא נושא מורכב - עיין בקישור להלן למידע נוסף. להלן דוגמה כיצד למצוא את אחת התשובות למשוואה הקובית שלך עם חלוקה סינתטית:
-
- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- מכיוון שאנו מקבלים את התוצאה הסופית שווה ל -0, אנו יודעים שאחת התשובות השלמות למשוואה הקובית שלנו היא - 1.
-
שיטה 3 מתוך 3: שימוש בגישת האפליה
שלב 1. רשום את המשוואות a, b, c ו- d
כדי למצוא את התשובה למשוואה המעוקבת בצורה כזו, נבצע הרבה חישובים עם המקדמים במשוואה שלנו. בגלל זה, רצוי לרשום את הערכים של a, b, c ו- d לפני ששוכחים כל אחד מהערכים.
לדוגמה, עבור המשוואה x 3 - 3 x 2 + 3 x -1, רשום אותו כ a = 1, b = -3, c = 3, ו- d = -1. אל תשכח שכאשר למשתנה x אין מקדם, הערך שלו הוא 1.
שלב 2. חשב 0 = ב 2 - 3 מזגנים.
הגישה המפלה למציאת תשובות למשוואות קוביות דורשת חישובים מורכבים, אך אם תעקוב אחר הצעדים בזהירות, היא יכולה להיות שימושית מאוד לפתרון משוואות קוביות שקשה לפתור אותן בדרכים אחרות. ראשית, מצא את הערך 0, שהוא הערך המשמעותי הראשון מבין מספר הדרושים לנו, וחיבר את הערך המתאים לנוסחה b 2 - 3 מזגנים.
-
בדוגמה בה אנו משתמשים, נפתור אותה כדלקמן:
-
- ב 2 - 3 דונם
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
-
שלב 3. חישוב 1 = 2 ב 3 - 9 abc + 27 a 2 ד.
הערך המשמעותי הבא שאנו זקוקים לו, 1, דורש חישוב ארוך יותר, אך ניתן למצוא אותו כמו 0. חבר את הערך המתאים לנוסחה 2 ב 3 - 9 abc + 27 א 2 d כדי לקבל את הערך 1.
-
בדוגמה זו, אנו פותרים אותה באופן הבא:
-
- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
-
שלב 4. חישוב = 12 - 4Δ03) -27 א 2.
לאחר מכן, אנו מחשבים את הערך "המבדיל" של הערכים 0 ו -1. האפליה היא מספר שנותן לך מידע אודות שורש הפולינום (יתכן ושיננת באופן לא מודע את הנוסחה המבדילה בריבוע: ב 2 - 4 מזגנים). במקרה של משוואה מעוקבת, אם ערכו של המבחן הוא חיובי, הרי שלמשוואה יש שלוש תשובות של מספר ממשי. אם הערך המבדיל שווה לאפס, הרי שלמשוואה יש אחת או שתיים תשובות מספר אמיתי, ולחלק מהתשובות יש אותו ערך. אם הערך שלילי, הרי שלמשוואה יש רק תשובה אחת ממספר ממש, מכיוון שהגרף של המשוואה תמיד יחתוך את ציר ה- x לפחות פעם אחת.)
-
בדוגמה זו, מכיוון שגם 0 וגם 1 = 0, מציאת הערך של קל מאוד. אנחנו רק צריכים לחשב את זה בצורה הבאה:
-
- 12 - 4Δ03) -27 א 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, כך שלמשוואה שלנו יש 1 או 2 תשובות.
-
שלב 5. חישוב C = 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2).
הערך האחרון שחשוב לנו לקבל הוא הערך של C. ערך זה מאפשר לנו לקבל את כל שלושת השורשים של המשוואה הקובית שלנו. פתור כרגיל, חבר את הערכים של 1 ו- 0 לנוסחה.
-
בדוגמה זו נקבל את הערך של C על ידי:
-
- 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = ג
-
שלב 6. חשב את שלושת השורשים של המשוואה עם המשתנה שלך
השורש (התשובה) של המשוואה הקובית שלך נקבע על ידי הנוסחה (b + u C + (Δ0/u ג)) / 3 א, כאשר u = (-1 + (-3))/2 ו- n שווים ל- 1, 2 או 3. חבר את הערכים שלך לנוסחה כדי לפתור אותם-ייתכן שיהיו לא מעט חישובים שעליך לעשות, אבל אתה אמור לקבל את כל שלושת התשובות שלך למשוואה מעוקבת!
-
בדוגמה זו, אנו עשויים לפתור אותה על ידי בדיקת התשובות כאשר n שווה ל- 1, 2 ו- 3. התשובה שאנו מקבלים מהחישוב הזה היא התשובה האפשרית למשוואה הקובית שלנו - כל ערך שאנו מחברים למשוואה הקובית והיא נותנת את אותה תוצאה. עם 0 היא התשובה הנכונה. לדוגמה, אם נקבל תשובה שווה ל -1 אם באחד מניסויי החישוב שלנו, חיבור הערך 1 למשוואה x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 מניב את התוצאה הסופית שווה 0. כך
שלב 1. היא אחת התשובות למשוואה המעוקבת שלנו.
