ב"מערכת משוואות ", אתה מתבקש לפתור שתי משוואות או יותר במקביל. כאשר לשתי המשוואות שני משתנים שונים, למשל x ו- y, הפתרון עשוי להיראות בהתחלה קשה. למרבה המזל, ברגע שאתה יודע מה אתה צריך לעשות, אתה יכול פשוט להשתמש בכישורי האלגברה שלך (ובמדע חישוב השברים) כדי לפתור את הבעיה. למד גם כיצד לצייר את שתי המשוואות הללו אם אתה לומד חזותי, או שאתה נדרש על ידי המורה. ציורים יעזרו לך לזהות את הנושא או לבדוק את תוצאות עבודתך. עם זאת, שיטה זו איטית יותר מהשיטות האחרות, ולא ניתן להשתמש בה בכל מערכות המשוואות.
שלב
שיטה 1 מתוך 3: שימוש בשיטת החלפה
שלב 1. העבר את המשתנים לצד הנגדי של המשוואה
שיטת ההחלפה מתחילה "למצוא את הערך של x" (או כל משתנה אחר) באחת המשוואות. לדוגמה, נניח שמשוואת הבעיה היא 4x + 2y = 8 ו 5x + 3y = 9. התחל בעבודה על המשוואה הראשונה. סדר מחדש את המשוואה על ידי הפחתת 2y משני הצדדים. כך, אתה מקבל 4x = 8 - 2y.
שיטה זו משתמשת לעתים קרובות בשברים בסוף. אם אינך אוהב לספור שברים, נסה את שיטת החיסול שלהלן
שלב 2. חלק את שני צידי המשוואה ל "מצא את הערך של x"
ברגע שהמונח x (או כל משתנה שאתה משתמש בו) נמצא בצד אחד של המשוואה, חלק את שני צידי המשוואה על ידי המקדמים כך שרק המשתנה יישאר. לדוגמא:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
שלב 3. חבר את ערך x מהמשוואה הראשונה למשוואה השנייה
הקפד לחבר אותו למשוואה השנייה, במקום לזה שעבדת עליו זה עתה. החלף (החלף) את המשתנה x במשוואה השנייה. לפיכך, למשוואה השנייה יש כעת רק משתנה אחד. לדוגמא:
- ידוע x = 2 - y.
- המשוואה השנייה שלך היא 5x + 3y = 9.
- לאחר החלפת משתנה x במשוואה השנייה לערך x מהמשוואה הראשונה, נקבל "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
שלב 4. פתור את המשתנים הנותרים
כעת, למשוואה שלך יש רק משתנה אחד. חשב את המשוואה עם פעולות אלגבריות רגילות כדי למצוא את ערך המשתנה. אם שני המשתנים מבטלים זה את זה, דלג ישר לשלב האחרון. אחרת תקבל ערך לאחד המשתנים:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (אם אינך מבין את השלב הזה, למד כיצד להוסיף שברים.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
שלב 5. השתמש בתשובה שהתקבלה כדי למצוא את הערך האמיתי של x במשוואה הראשונה
אל תפסיק עדיין כי החישובים שלך עדיין לא בוצעו. עליך לחבר את התשובה שהתקבלה למשוואה הראשונה כדי למצוא את הערך של המשתנים הנותרים:
- ידוע y = -2
- אחת המשוואות במשוואה הראשונה היא 4x + 2y = 8. (אתה יכול להשתמש בכל אחת מהן.)
- החלף את משתנה y ב -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
שלב 6. דע מה לעשות אם שני המשתנים מבטלים זה את זה
כשאתה נכנס x = 3y+2 או תשובה דומה למשוואה השנייה, כלומר אתה מנסה להשיג משוואה שיש לה משתנה אחד בלבד. לפעמים אתה פשוט מקבל את המשוואה לְלֹא מִשְׁתַנֶה. בדוק שוב את העבודה שלך וודא שהכנסת (מסודרת מחדש) משוואה אחת למשוואה שתיים, במקום לחזור למשוואה הראשונה. אם אתה בטוח שלא עשית שום דבר רע, כתוב אחת מהתוצאות הבאות:
- אם למשוואה אין משתנים והיא לא נכונה (למשל 3 = 5), בעיה זו אין תשובה. (כאשר הדבר מתורגם בגרף, שתי המשוואות הללו מקבילות ואף פעם לא נפגשות.)
- אם למשוואה אין משתנים ו- נכון, (למשל 3 = 3), כלומר יש לשאלה תשובות ללא הגבלה. משוואה אחת זהה בדיוק למשוואה שתיים. (כאשר גרף, שתי המשוואות הללו הן אותו קו.)
שיטה 2 מתוך 3: שימוש בשיטת החיסול
שלב 1. מצא את המשתנים הבלעדיים זה לזה
לפעמים, המשוואה בבעיה היא כבר לבטל אחד את השני כאשר מוסיפים אותו. לדוגמה, אם אתה עושה את המשוואה 3x + 2y = 11 ו 5x - 2y = 13, המונחים "+2y" ו- "-2y" יבטלו זה את זה ויסירו את המשתנה "y" מהמשוואה. תסתכל על המשוואה בבעיה, ובדוק אם יש משתנים שמבטלים זה את זה, כמו בדוגמה. אם לא, המשך לשלב הבא.
שלב 2. הכפל את המשוואה באחת כך שיוסר משתנה אחד
(דלג על שלב זה אם המשתנים כבר מבטלים זה את זה.) אם אין למשוואה משתנים המתבטלים מעצמם, שנה אחת מהמשוואות כך שיוכלו לבטל אחת את השנייה. תסתכל על הדוגמאות הבאות כדי שתוכל להבין אותן בקלות:
- המשוואות בבעיה הן 3x - y = 3 ו - x + 2y = 4.
- בואו נשנה את המשוואה הראשונה כך שהמשתנה y לבטל אחד את השני. (אתה יכול להשתמש במשתנה איקס. התשובה הסופית שתתקבל תהיה זהה.)
- מִשְׁתַנֶה - י במשוואה הראשונה יש לחסל על ידי + שנתיים במשוואה השנייה. איך, תכפילו - י עם 2.
- הכפל את שני צידי המשוואה ב -2, כדלקמן: 2 (3x - y) = 2 (3), לכן 6x - 2y = 6. עכשיו, שבט - שנתיים יבטלו אחד את השני עם +שנתיים במשוואה השנייה.
שלב 3. שלב את שתי המשוואות
הטריק הוא להוסיף את הצד הימני של המשוואה הראשונה לצד הימני של המשוואה השנייה, ולהוסיף את הצד השמאלי של המשוואה הראשונה לצד השמאלי של המשוואה השנייה. אם נעשה נכון, אחד המשתנים יבטל זה את זה. ננסה להמשיך את החישוב מהדוגמה הקודמת:
- שתי המשוואות שלך הן 6x - 2y = 6 ו - x + 2y = 4.
- הוסף את הצדדים השמאליים של שתי המשוואות: 6x - 2y - x + 2y =?
- הוסף את הצדדים הימניים של שתי המשוואות: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
שלב 4. קבל את ערך המשתנה האחרון
פשט את המשוואה המורכבת שלך, ועבוד עם אלגברה סטנדרטית כדי לקבל את הערך של המשתנה האחרון. אם, לאחר הפשט, למשוואה אין משתנים, המשך לשלב האחרון בסעיף זה.
אחרת תקבל ערך לאחד המשתנים. לדוגמא:
- ידוע 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- משתני קבוצה איקס ו y יַחַד: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- פשט את המשוואה: 5x = 10
- מצא את ערך x: (5x)/5 = 10/5, להשיג x = 2.
שלב 5. מצא את הערך של משתנה אחר
מצאת את הערך של משתנה אחד, אבל מה עם השני? חבר את התשובה שלך לאחת המשוואות כדי למצוא את הערך של המשתנה הנותר. לדוגמא:
- ידוע x = 2, ואחת המשוואות בבעיה היא 3x - y = 3.
- החלף את משתנה x ב -2: 3 (2) - y = 3.
- מצא את הערך של y במשוואה: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, לכן 6 = 3 + y
- 3 = y
שלב 6. דע מה לעשות כאשר שני המשתנים מבטלים זה את זה
לפעמים, שילוב של שתי משוואות גורם למשוואה שאינה הגיונית, או שאינה עוזרת לך לפתור את הבעיה. סקור את עבודתך, ואם אתה בטוח שלא עשית דבר רע, כתוב אחת משתי התשובות הבאות:
- אם למשוואה המשולבת אין משתנים והיא לא נכונה (למשל 2 = 7), בעיה זו אין תשובה. תשובה זו חלה על שתי המשוואות. (כאשר הדבר מתורגם בגרף, שתי המשוואות הללו מקבילות ואף פעם לא נפגשות.)
- אם למשוואה המשולבת אין משתנים ו- נכון, (למשל 0 = 0), כלומר יש לשאלה תשובות ללא הגבלה. שתי המשוואות האלה זהות אחת לשנייה. (כאשר גרף, שתי המשוואות הללו הן אותו קו.)
שיטה 3 מתוך 3: צייר גרף משוואות
שלב 1. בצע שיטה זו רק על פי הנחיות
אלא אם כן אתה משתמש במחשב או במחשבון גרפים, שיטה זו יכולה לספק תשובות משוערות בלבד. המורה או ספר הלימוד שלך עשוי להגיד לך להשתמש בשיטה זו כדי להרגל לצייר משוואות כקווים. ניתן להשתמש בשיטה זו גם כדי לבדוק את התשובה לאחת מהשיטות לעיל.
הרעיון המרכזי הוא שאתה צריך לתאר את שתי המשוואות ולמצוא את נקודת החיתוך שלהן. הערך של x ו- y בנקודת חיתוך זו הוא התשובה לבעיה
שלב 2. מצא את ערכי y של שתי המשוואות
אל תשלב את שתי המשוואות, ושנה כל משוואה כך שהפורמט יהיה "y = _x + _". לדוגמא:
- המשוואה הראשונה שלך היא 2x + y = 5. לשנות ל y = -2x + 5.
- המשוואה הראשונה שלך היא - 3x + 6y = 0. לשנות ל 6y = 3x + 0, ופשט ל y = x + 0.
- אם שתי המשוואות שלך זהות לחלוטין, כל הקו הוא ה"צומת "של שתי המשוואות. לִכתוֹב תשובות ללא הגבלה כתשובה.
שלב 3. צייר את צירי הקואורדינטות
צייר קו "ציר y" אנכי וקו "ציר x" אופקי על נייר הגרף. מתחילים בנקודה שבה שני הצירים מצטלבים (0, 0), רושמים את תוויות המספרים 1, 2, 3, 4, וכן הלאה מצביעים כלפי מעלה על ציר y, ומצביעים ימינה בציר ה- x. לאחר מכן, רשום את תוויות המספרים -1, -2, וכן הלאה והצביע כלפי מטה על ציר y, והצבע שמאלה על ציר ה- x.
- אם אין לך נייר גרף, השתמש בסרגל כדי לוודא שהמרווח בין כל מספר הוא זהה לחלוטין.
- אם אתה משתמש במספרים גדולים או עשרוניים, אנו ממליצים על קנה מידה של הגרף שלך (למשל 10, 20, 30 או 0, 1, 0, 2, 0, 3 במקום 1, 2, 3).
שלב 4. צייר את נקודת היירוט של y עבור כל משוואה
אם המשוואה היא בצורה y = _x + _, אתה יכול להתחיל לצייר גרף על ידי ביצוע הנקודה שבה קו המשוואה מצטלב עם ציר y. הערך של y תמיד זהה למספר האחרון במשוואה.
-
בהמשך הדוגמה הקודמת, השורה הראשונה (y = -2x + 5) חותך את ציר ה- y ב
שלב 5.. שורה שנייה (y = x + 0) חותך את ציר ה- y ב 0. (נקודות אלה נכתבות בתור (0, 5) ו- (0, 0) בגרף.)
- אם אפשר, צייר את השורה הראשונה והשנייה בעזרת עטים או עפרונות בצבעים שונים.
שלב 5. השתמש במדרון כדי להמשיך את הקו
בפורמט משוואות y = _x + _, המספר שלפני x מציין את "רמת השיפוע" של הקו. בכל פעם ש x יעלה באחד, הערך של y יגדל במספר רמות השיפוע. השתמש במידע זה כדי למצוא את הנקודות עבור כל שורה בגרף כאשר x = 1. (תוכל גם להזין x = 1 בכל משוואה ולמצוא את הערך של y.)
- בהמשך הדוגמה הקודמת, השורה y = -2x + 5 בעל שיפוע של - 2. בנקודה x = 1 הקו נע מטה פי 2 מהנקודה x = 0. צייר קו המחבר (0, 5) עם (1, 3).
- קַו y = x + 0 בעל שיפוע של ½. ב x = 1 הקו נע נסיעה מהנקודה x = 0. צייר קו המחבר (0, 0) עם (1,).
- אם לשני קווים יש אותו שיפוע, השניים לעולם לא יצטלבו. לפיכך, למערכת משוואות זו אין תשובה. לִכתוֹב אין תשובה כתשובה.
שלב 6. המשך בחיבור הקווים עד ששני הקווים מצטלבים
עצור את העבודה והסתכל על הגרף שלך. אם שני הקווים חצו זה את זה, המשך לשלב הבא. אם לא, קבל החלטה על סמך עמדת שתי השורות שלך:
- אם שני הקווים מתקרבים זה לזה, המשך לחבר את נקודות הפסים שלך.
- אם שני הקווים מתרחקים זה מזה, חזור אחורה וחבר את הנקודות לכיוונים מנוגדים, החל מ- x = 1.
- אם שני הקווים רחוקים מאוד זה מזה, נסה לקפוץ ולחבר את הנקודות רחוק יותר, למשל x = 10.
שלב 7. מצא את התשובה בנקודת החיתוך
לאחר ששני הקווים מצטלבים, הערך של x ו- y בנקודה זו הוא התשובה לבעיה שלך. אם יש לך מזל, התשובה תהיה מספר שלם. לדוגמה, בדוגמה שלנו שני הקווים מצטלבים בנקודה (2, 1) אז התשובה היא x = 2 ו- y = 1. בחלק ממערכות המשוואות, הנקודה בה הקו מצטלב היא בין שני מספרים שלמים, ואם הגרף אינו מדויק במיוחד, קשה להצביע היכן נמצאים ערכי x ו- y בנקודת החיתוך. אם מותר, תוכל לכתוב "x הוא בין 1 ל -2" כתשובה, או להשתמש בשיטת החלפה או חיסול כדי למצוא את התשובה.
טיפים
- אתה יכול לבדוק את העבודה שלך על ידי חיבור התשובות למשוואה המקורית. אם מסתבר שהמשוואה נכונה (למשל 3 = 3), המשמעות היא שהתשובה שלך נכונה.
- כאשר משתמשים בשיטת החיסול, לפעמים צריך להכפיל את המשוואה במספר שלילי, כך שהמשתנים יוכלו לבטל זה את זה.
