במתמטיקה, פקטורינג היא דרך למצוא מספרים או ביטויים שכאשר יוכפלו יניבו מספר נתון או משוואה. פקטורינג היא מיומנות שימושית ללמוד לפתור בעיות פשוטות באלגברה; היכולת להתחשב היטב, הופכת להיות חשובה בהתמודדות עם משוואות ריבועיות וצורות אחרות של פולינומים. ניתן להשתמש בפקטורינג כדי לפשט ביטויים אלגבריים כדי להקל על פתרונותיהם. Factoring יכול אפילו לתת לך את היכולת לחסל תשובות אפשריות מסוימות, הרבה יותר מהר מאשר לפתור אותן באופן ידני.
שלב
שיטה 1 מתוך 3: הפקטור מספרים וביטויים אלגבריים פשוטים
שלב 1. להבין את ההגדרה של פקטורינג כאשר הוא מיושם על מספרים בודדים
פקטורינג הוא מושג פשוט, אך בפועל, הוא יכול להיות מאתגר כאשר הוא מיושם על משוואות מורכבות. לכן, הכי קל לגשת למושג הפקטורינג על ידי התחלת מספרים פשוטים, ולאחר מכן המשך למשוואות פשוטות, לפני שסוף סוף עוברים ליישומים מורכבים יותר. גורמי מספר הם מספרים שכאשר מכפילים אותם מייצרים את המספר. לדוגמה, הגורמים של 12 הם 1, 12, 2, 6, 3 ו -4, כי 1 × 12, 2 × 6 ו- 3 × 4 שווים ל -12.
- דרך נוספת לחשוב עליו היא שגורמי המספר הם מספרים שיכולים להתחלק באופן שווה למספר.
-
האם אתה יכול למצוא את כל הגורמים של המספר 60? אנו משתמשים במספר 60 למטרות שונות (דקות בתוך שעה, שניות בדקה וכו ') מכיוון שהוא יכול להיות מתחלק להרבה מספרים אחרים.
הגורמים של 60 הם 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ו -60
שלב 2. להבין שאפשר גם להביא בחשבון ביטויים משתנים
בדיוק כפי שניתן לחשב מספרים עצמם, ניתן גם לחשב משתנים עם מקדמי מספרים. לשם כך, פשוט מצא את הגורמים של המקדמים המשתנים. לדעת כיצד לגדל משתנה היא מאוד שימושית לפשט משוואות אלגבריות הכוללות את המשתנה הזה.
-
לדוגמה, ניתן לכתוב את המשתנה 12x כתוצר של הגורמים 12 ו- x. אנו יכולים לכתוב 12x כ- 3 (4x), 2 (6x) וכו ', תוך שימוש בגורמים של 12 המתאימים ביותר למטרותינו.
אנו יכולים אפילו להגדיר 12x מספר פעמים. במילים אחרות, איננו צריכים לעצור ב- 3 (4x) או 2 (6x) - אנו יכולים להגדיר 4x ו- 6x כדי לייצר 3 (2 (2x) ו- 2 (3 (2x). כמובן, שני הביטויים הללו) שוות ערך
שלב 3. החל את המאפיין החלוקתי של הכפל על משוואות אלגבריות גורם
בעזרת הידע שלך כיצד לגדל מספרים בודדים וגם משתנים עם מקדמים, תוכל לפשט משוואות אלגבריות פשוטות על ידי מציאת הגורמים שמשתפים מספרים ומשתנים במשוואות אלגבריות. בדרך כלל, כדי לפשט משוואה, אנו מנסים למצוא את הגורם המשותף הגדול ביותר. תהליך פישוט זה אפשרי בגלל המאפיין החלוקתי של הכפל, החל על כל מספר a, b ו- c. a (b + c) = ab + ac.
- ננסה שאלה לדוגמא. כדי לגדל את המשוואה האלגברית 12x + 6, ראשית, בואו ננסה למצוא את הגורם המשותף הגדול ביותר של 12x ו- 6. 6 הוא המספר הגדול ביותר שיכול לחלק באופן שווה 12x ו- 6, כך שנוכל לפשט את המשוואה ל- 6 (2x + 1).
- תהליך זה חל גם על משוואות עם מספרים ושברים שליליים. לדוגמה, ניתן לפשט את x/2 + 4 ל- 1/2 (x + 8), ולחלק את -7x + -21 בחשבון ל- -7 (x + 3).
שיטה 2 מתוך 3: פקטורינג משוואות ריבועיות
שלב 1. ודא שהמשוואה היא בצורה ריבועית (ax2 + bx + c = 0).
למשוואות ריבועיות יש את הצורה ax2 + bx + c = 0, כאשר a, b ו- c הם קבועי מספרים ולא שווים ל- 0 (שים לב כי a יכול להיות שווה ל -1 או -1). אם יש לך משוואה שיש לה משתנה אחד (x) שיש לו מונח אחד x בכוחם של שניים או יותר, בדרך כלל אתה מזיז את המונחים האלה במשוואה באמצעות פעולות אלגבריות פשוטות כדי לקבל 0 משני צדי הסימן והגרזן השווים.2, וכו. בצד השני.
- לדוגמה, בואו נחשוב על משוואה אלגברית. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 ניתן לפשט את x - 18 ל- x2 + 6x + 9 = 0, שהיא הצורה המרובעת.
- משוואות עם הכוח הגדול יותר של x, כגון x3, איקס4, וכו. אינן משוואות ריבועיות. משוואות אלו הן משוואות מעוקבות, לעוצמה הרביעית, וכן הלאה, אלא אם כן ניתן לפשט את המשוואה כדי להסיר את המונחים x אלה עם כוחות גדולים מ -2.
שלב 2. במשוואה ריבועית, כאשר a = 1, גורם ל- (x+d) (x+e), כאשר d × e = c ו- d+e = b
אם המשוואה הריבועית שלך היא בצורה x2 + bx + c = 0 (במילים אחרות, אם מקדם המונח x2 = 1), אפשר (אך לא מובטח) שניתן להשתמש בשיטת קצרנות קלה למדי לצורך פרסום המשוואה. מצא שני מספרים שכאשר מכפילים אותם נותנים ג ו צירף לייצר ב. לאחר שחיפשת את שני המספרים d ו- e, שים אותם בביטוי הבא: (x+d) (x+e). שני מונחים אלה, כאשר הם מוכפלים, נותנים לך את המשוואה הריבועית - במילים אחרות, הם הגורמים למשוואה הריבועית שלך.
- לדוגמה, בואו נחשוב על המשוואה הריבועית x2 + 5x + 6 = 0. 3 ו -2 מוכפלים לתת 6 וגם מתווספים לתת 5, כך שנוכל לפשט את המשוואה הזו ל- (x + 3) (x + 2).
-
ההבדל הקל בשיטת קיצור בסיסית זו טמון בהבדלים בדמיון עצמם:
- אם המשוואה הריבועית היא בצורת x2-bx+c, התשובה שלך היא בצורה זו: (x - _) (x - _).
- אם המשוואה היא בצורה x2+ bx + c, התשובה שלך נראית כך: (x + _) (x + _).
- אם המשוואה היא בצורה x2-bx -c, התשובה שלך היא בצורה (x + _) (x -_).
- הערה: המספרים בחסר יכולים להיות שברים או עשרוניים. לדוגמה, המשוואה x2 + (21/2) x + 5 = 0 מחושב (x + 10) (x + 1/2).
שלב 3. במידת האפשר, בדוק באמצעות בדיקות
תאמין או לא, עבור משוואות ריבועיות לא פשוטות, אחת משיטות הפקטורינג המותרות היא לבחון את הבעיה, ואז לשקול את התשובות האפשריות עד שתמצא את התשובה הנכונה. שיטה זו ידועה גם בשם פקטורינג באמצעות בדיקה. אם המשוואה נמצאת בצורת ax2+bx +c ו- a> 1, תשובת הגורם שלך היא בצורה (dx +/- _) (ex +/- _), כאשר d ו- e הם קבועים של מספרים שאינם אפס שכאשר מוכפלים נותנים a. לא d ולא e (או שניהם) יכולים להיות 1, למרות שזה לא חייב להיות. אם שניהם 1, אתה בעצם משתמש בשיטת הקצרה שתוארה לעיל.
בואו נחשוב על דוגמא לבעיה. 3x2 - 8x + 4 נראה בהתחלה קשה. עם זאת, ברגע שאנו מבינים של -3 יש רק שני גורמים (3 ו -1), משוואה זו הופכת לקלה יותר מכיוון שאנו יודעים כי התשובה שלנו חייבת להיות בצורה (3x +/- _) (x +/- _). במקרה זה, הוספת -2 לשני החסר נותנת את התשובה הנכונה. -2 × 3x = -6x ו- -2 × x = -2x. -6x ו -2x מסתכמים ב- -8x. -2 × -2 = 4, כך שנוכל לראות כי המונחים המחושבים בסוגריים כאשר הם מוכפלים מייצרים את המשוואה המקורית.
שלב 4. פתרו על ידי השלמת הריבוע
במקרים מסוימים ניתן לחשב משוואות ריבועיות במהירות ובקלות באמצעות זהויות אלגבריות מיוחדות. כל משוואה ריבועית בצורה x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. אז אם במשוואה שלך ערך b שלך הוא פי שניים מהשורש הריבועי מערך c שלך, ניתן לחשב את המשוואה שלך ל- (x + (root (c)))2.
לדוגמה, המשוואה x2 +6x+9 יש צורה זו. 32 הוא 9 ו -3 × 2 הוא 6. לכן, אנו יודעים שצורת הגורם של משוואה זו היא (x + 3) (x + 3), או (x + 3)2.
שלב 5. השתמש בגורמים לפתרון משוואות ריבועיות
ללא קשר לאופן שבו חישבת את המשוואה הריבועית שלך, לאחר שהמשוואה תתחשב, תוכל למצוא תשובות אפשריות לערך x על ידי הפיכת כל גורם לאפס ופתרוןו. מכיוון שאתה מחפש את הערך של x שהופך את המשוואה שלך לאפס, הערך של x שהופך כל גורם שווה לאפס הוא תשובה אפשרית למשוואה הריבועית שלך.
נחזור למשוואה x2 + 5x + 6 = 0. משוואה זו מחושבת ל- (x + 3) (x + 2) = 0. אם כל אחד מהגורמים שווה 0, כל המשוואות שוות 0, כך שהתשובות האפשריות שלנו ל- x הן מספרים- מספר שעושה (x + 3) ו- (x + 2) שווים 0. מספרים אלה הם -3 ו -2, בהתאמה.
שלב 6. בדוק את התשובות שלך - חלק מהתשובות עלולות להטעות
כאשר אתה מוצא תשובות אפשריות עבור x, חבר אותן שוב למשוואה המקורית שלך כדי לראות אם התשובה נכונה. לפעמים, התשובות שאתה מוצא אינן הופכות את המשוואה המקורית לאפסית כאשר היא נכנסת מחדש. אנו קוראים לתשובה זו סוטה ומתעלמים ממנה.
-
בואו נכניס -2 ו- -3 ל- x2 + 5x + 6 = 0. ראשית, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. תשובה זו נכונה, ולכן -2 היא התשובה הנכונה.
-
עכשיו, ננסה -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. גם התשובה הזו נכונה, ולכן -3 היא התשובה הנכונה.
שיטה 3 מתוך 3: פקטורינג משוואות אחרות
שלב 1. אם המשוואה באה לידי ביטוי בצורה א2-ב2, גורם לתוך (a+b) (a-b).
למשוואות עם שני משתנים יש גורמים שונים מהמשוואה הריבועית הבסיסית. למשוואה א2-ב2 כל דבר שבו a ו- b אינם שווים ל- 0, גורמי המשוואה הם (a+b) (a-b).
לדוגמה, המשוואה 9x2 - 4y2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
שלב 2. אם המשוואה באה לידי ביטוי בצורה א2+2ab+b2, גורם ל- (a+b)2.
שים לב שאם הטרינומיום הוא בצורה a2-2ab+b2, גורמי הצורה שונים במקצת: (א-ב)2.
משוואה 4x2 + 8xy + 4y2 ניתן לכתוב מחדש כ- 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. כעת, אנו יכולים לראות שהצורה נכונה, כך שנוכל להיות בטוחים שגורמי המשוואה שלנו הם (2x + 2y)2
שלב 3. אם המשוואה באה לידי ביטוי בצורה א3-ב3, גורם ל- (a-b) (a2+ab+b2).
לבסוף, כבר הוזכר כי ניתן לחשב משוואות קוביות ואף סמכויות גבוהות יותר, אם כי תהליך הפקטורינג הופך במהירות למסובך מאוד.
לדוגמה, 8x3 - בן 273 מחושב (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
טיפים
- א2-ב2 ניתן להביא בחשבון, א2+ב2 לא ניתן לחשב אותם.
- זכור כיצד לגדל קבוע. זה עשוי לעזור.
- היזהר עם שברים בתהליך הפקטורינג ועבוד עם שברים בצורה נכונה ובזהירות.
- אם יש לך טרינומיאל של הטופס x2+ bx+ (b/2)2, גורם הצורה הוא (x+(b/2))2. (אתה עלול להיתקל בסיטואציה זו בעת השלמת הריבוע).
- זכור כי a0 = 0 (המאפיין של המוצר של אפס).
