3 דרכים לפקטור טרינומיום

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-15 08:15

טריניום הוא ביטוי אלגברי המורכב משלושה מונחים. סביר להניח שתתחיל ללמוד כיצד לגדל טרינומיום ריבועי, כלומר טריניום הכתוב בצורת גרזן² + bx + c. יש כמה טריקים ללמוד, שניתן להשתמש בהם עבור סוגים רבים ושונים של טרינומיומים ריבועיים, אך תוכל להשתמש בהם טוב יותר ומהיר יותר עם תרגול. פולינומים מסדר גבוה יותר, עם מונחים כמו x³ או x⁴, לא תמיד ניתן לפתור אותו באופן זהה, אך לעתים קרובות תוכל להשתמש בפקטורינג פשוט או החלפה כדי להפוך אותו לבעיה הניתנת לפתרון כמו כל נוסחה ריבועית אחרת.

שלב

שיטה 1 מתוך 3: פקטורינג x² + bx + c

שלב 1. למד כפל PLDT

ייתכן שלמדת כיצד להכפיל PLDT, או "ראשית, בחוץ, פנימה, אחרונה" כדי להכפיל ביטויים כמו (x+2) (x+4). כדאי לדעת כיצד הכפלה הזו עובדת לפני שנחשב:

• תכפילו את השבטים ראשון: (איקס+2)(איקס+4) = איקס² + _

• תכפילו את השבטים בחוץ: (איקס+2) (x+

  שלב 4.) = x²+ 4x + _

• תכפילו את השבטים ב: (x+

  שלב 2.)(איקס+4) = x²+4x+ 2x + _

• תכפילו את השבטים סופי: (x+

  שלב 2.)(איקס

  שלב 4.) = x²+4x+2x

  שלב 8.

• פשוט: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

שלב 2. להבין פקטורינג

כאשר אתה מכפיל שני בינומים בשיטת PLDT, אתה מקבל טרינומיום (ביטוי עם שלושה מונחים) בצורה x²+ b x+ c, כאשר a, b ו- c הם מספרים רגילים. אם אתה מתחיל עם משוואה בעלת צורה זהה, תוכל להחזיר אותה לשני בינומים.

• אם המשוואות אינן כתובות בסדר זה, סדר מחדש את המשוואות כך שיהיו להן סדר זה. לדוגמה, כתוב מחדש 3x - 10 + x² הופך איקס² + 3x - 10.
• מכיוון שהעוצמה הגבוהה ביותר היא 2 (x², ביטוי מסוג זה נקרא ריבוע.

שלב 3. השאר רווח ריק לתשובה בצורה של כפל PLDT

בינתיים פשוט כתוב (_ _)(_ _) שם תכתוב את התשובה. אנו נמלא אותו תוך כדי עבודה עליו

אל תכתוב + או - בין המונחים הריקים מכיוון שאנחנו עדיין לא יודעים את הסימן הנכון

שלב 4. מלא את התנאים הראשונים

לבעיות פשוטות, המונח הראשון של הטרינומיום שלך הוא רק x², המונחים בעמדה הראשונה הם תמיד איקס ו איקס. אלה הם הגורמים של המונח x² כי x כפול x = x².

• הדוגמה שלנו x² + 3x - 10 החל מ- x², כדי שנוכל לכתוב:
• (x _) (x _)
• נעבוד על בעיות מורכבות יותר בחלק הבא, כולל טרינומיאלים המתחילים במונחים כמו 6x² או -x². בינתיים, עקוב אחר שאלות לדוגמא אלה.

שלב 5. השתמש בפקטורינג כדי לנחש את המונחים האחרונים

אם תחזור אחורה ותקרא את השלבים להכפלת PLDT, תראה שהכפלת המונחים האחרונים תייצר את המונח האחרון בפולינום (מונחים שאין להם x). אז כדי לפקטור, עלינו למצוא שני מספרים שכאשר יוכפלו יניבו את המונח האחרון.

• בדוגמה שלנו x² + 3x - 10, המונח האחרון הוא -10.
• מהם הגורמים של -10? איזה מספר מוכפל ב -10?
• ישנן מספר אפשרויות: -1 פעמים 10, 1 פעמים -10, -2 פעמים 5, או 2 פעמים -5. כתוב את הזוגות האלה איפשהו כדי לזכור אותם.
• אל תשנה את התשובה שלנו עדיין. התשובה שלנו עדיין צריכה להיראות כך: (x _) (x _).

שלב 6. בדוק את האפשרויות התואמות את המוצר החיצוני והפנימי

צמצמנו את התנאים האחרונים לכמה אפשרויות. השתמש במערכת הניסוי לבדיקת כל אפשרות, הכפלת המונחים החיצוניים והפנימיים והשוואת המוצר עם הטרינומיום שלנו. לדוגמה:

• הבעיה המקורית שלנו הייתה המונח "x" על 3x, כך שתוצאות הבדיקה שלנו צריכות להתאים למונח זה.
• בדיקות -1 ו -10: (x -1) (x+10). בחוץ + בפנים = 10x - x = 9x. שגוי.
• בדיקות 1 ו -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. זה לא נכון. למעשה, אם תבדוק -1 ו- 10, תגלה ש -1 ו- -10 הם ההפך מהתשובה למעלה: -9x במקום 9x.
• בדיקות -2 ו -5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. התוצאה מתאימה לפולינום הראשוני, אז הנה התשובה הנכונה: (x-2) (x+5).
• במקרים פשוטים כאלה, אם אין לך קבוע מול המונח x², אתה יכול להשתמש בדרך המהירה: פשוט הוסף את שני הגורמים והנח "x" מאחוריו (-2+5 → 3x). עם זאת, שיטה זו אינה פועלת לבעיות מורכבות יותר, ולכן עדיף לזכור את "הדרך הארוכה" שתוארה לעיל.

שיטה 2 מתוך 3: פקטורינג של טרינומים מורכבים יותר

שלב 1. השתמש בפקטורינג פשוט כדי להפוך בעיות מורכבות יותר לפשוטות יותר

לדוגמה, אתה צריך להתחשב 3x² + 9x - 30. מצא מספר שיכול להביא את כל שלושת המונחים ("הגורם המשותף הגדול ביותר" או GCF). במקרה זה, ה- GCF הוא 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• לפיכך, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). אנו יכולים לחשב את הטרינומיום החדש באמצעות השלבים בסעיף לעיל. התשובה הסופית שלנו תהיה (3) (x-2) (x+5).

שלב 2. חפש גורמים מסבכים יותר

לפעמים, הפקטורינג עשוי להיות כרוך במשתנה, או שתצטרך להתחשב כמה פעמים בכדי למצוא את הביטוי הפשוט ביותר האפשרי. הנה כמה דוגמאות:

• 2x²y + 14xy + 24y = (שנתיים)(איקס² + 7x + 12)
• איקס⁴ + 11x³ - 26x² = (איקס²)(איקס² +11x - 26)
• -איקס² + 6x - 9 = (-1)(איקס² - 6x + 9)
• אל תשכח ליצור מחדש את הטרינומיום החדש, באמצעות השלבים בשיטה 1. בדוק את עבודתך וחפש דוגמאות לבעיות דומות בשאלות לדוגמא בתחתית דף זה.

שלב 3. פתור בעיות עם מספר מול x².

לא ניתן לצמצם כמה טרינומיומים ריבועיים לבעיה הקלה ביותר. למד כיצד לפתור בעיות כמו 3x² + 10x + 8, ולאחר מכן התאמן בעצמך עם השאלות לדוגמא בתחתית דף זה:

• הגדר את התשובה שלנו כך: (_ _)(_ _)
• למונחים ה"ראשונים "שלנו יהיה x אחד, והכפלתם נותנת 3x². יש רק אפשרות אחת: (3x _) (x _).
• ציין את הגורמים של 8. הסיכויים הם 1 כפול 8 או 2 כפול 4.
• בדוק אפשרות זו באמצעות המונחים החיצוניים והפנימיים. שים לב כי סדר הגורמים חשוב מאוד מכיוון שהמונח החיצוני מוכפל ב- 3x במקום ב- x. נסה כל אפשרות עד שתצא Out+In = 10x (מהבעיה המקורית):
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x לא
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x לא
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x לא
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x כן. זהו הגורם הנכון.

שלב 4. השתמש תחליף לטרינומיום מסדר גבוה יותר

ספר המתמטיקה שלך עשוי להפתיע אותך עם משוואות בעלות עוצמות גבוהות, כגון x⁴, גם לאחר שתשתמש בפקטורינג פשוט כדי להקל על הבעיה. נסה להחליף משתנה חדש שהופך אותו לבעיה שאתה יודע לפתור. לדוגמה:

• איקס⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• בואו ליצור משתנה חדש. נניח y = x² ולהכניס לתוכו:
• (x) (י²+13y+36)
• = (x) (y+9) (y+4). כעת, החזר אותו למשתנה הראשוני:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

שיטה 3 מתוך 3: פקטורינג מקרים מיוחדים

שלב 1. מצא מספרים ראשוניים

בדוק אם הקבוע במונח הראשון או השלישי של הטרינומיום הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני מתחלק בעצמו ו -1, כך שיש רק זוג גורמים בינומי אחד אפשרי.

• לדוגמה, ב- x² + 6x + 5, 5 הוא מספר ראשוני, כך שהבינומיום חייב להיות בצורה (_ 5) (_ 1).
• בבעיה של 3x²+10x+8, 3 הוא מספר ראשוני, כך שהבינומיום חייב להיות בצורה (3x _) (x _).
• לשאלות 3x²+4x+1, גם 3 וגם 1 הם מספרים ראשוניים, כך שהפתרון האפשרי היחיד הוא (3x+1) (x+1). (אתה עדיין צריך להכפיל את המספר הזה כדי לבדוק את התשובה שלך מכיוון שלא ניתן לחשב כמה ביטויים כלל - למשל, 3x²+100x+1 אין גורם.)

שלב 2. גלה אם הטרינומיום הוא ריבוע מושלם

ניתן לחלק טרינומיום מרובע מושלם לשני בינומים זהים, והגורם נכתב בדרך כלל כ (x+1)² ולא (x+1) (x+1). להלן מספר דוגמאות הנוטות להופיע בשאלות:

• איקס²+2x+1 = (x+1)², ו- x²-2x+1 = (x-1)²
• איקס²+4x+4 = (x+2)², ו- x²-4x+4 = (x-2)²
• איקס²+6x+9 = (x+3)², ו- x²-6x+9 = (x-3)²
• טרינומיום מרובע מושלם בצורה a² + bx + c תמיד יש מונחים a ו- c שהם ריבועים מושלמים חיוביים (כגון 1, 4, 9, 16 או 25) ומונח אחד b (חיובי או שלילי) השווה ל 2 (√a * √c).

שלב 3. גלה אם לבעיה אין פתרון

לא ניתן לחשב את כל הטרינומיומים. אם אינך יכול להגדיר טרינומיום ריבועי (ax²+bx+c), השתמש בנוסחה הריבועית כדי למצוא את התשובה. אם התשובה היחידה היא השורש הריבועי של מספר שלילי, אין פתרון מספר ממשי, אין לבעיה גורמים.

עבור טריניומים לא מרובעים, השתמש בקריטריון אייזנשטיין המתואר בסעיף טיפים

תשובות ושאלות לדוגמא

1. תשובות לשאלות "מסובך פקטורינג".

   אלו שאלות משלב "הגורמים המסובכים יותר". פישטנו את הבעיות לבעיות קלות יותר, אז נסה לפתור אותן באמצעות השלבים בשיטה 1, ולאחר מכן בדוק את עבודתך כאן:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (איקס²)(איקס² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. נסה בעיות פקטורינג מורכבות יותר.

   לבעיות אלה יש אותו גורם בכל מונח אשר יש לחשב אותו קודם. חסום את החסר לאחר סימן השווים כדי לראות את התשובות כדי שתוכל לבדוק את עבודתך:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) חסום את החסר כדי לראות את התשובה
   • -5x³y²+30x²y²-25 שנה²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. תרגלו שימוש בשאלות. לא ניתן לחלק בעיות אלה למשוואות קלות יותר, כך שתצטרך למצוא את התשובה בטופס (_x + _) (_ x + _) באמצעות ניסוי וטעייה:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) חסימה כדי לראות את התשובה
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (רמז: ייתכן שתרצה לנסות יותר מזוג גורם אחד עבור 9x.)

   טיפים

   • אם אינך יכול להבין כיצד גורמים לשלישייה ריבועית (ax²+bx+c), אתה יכול להשתמש בנוסחה הריבועית כדי למצוא x.

   • למרות שאינך צריך לדעת כיצד לעשות זאת, תוכל להשתמש בקריטריונים של אייזנשטיין כדי לקבוע במהירות אם לא ניתן לפשט פולינומיום ולחשב אותו. קריטריון זה חל על כל פולינום אך הוא משמש בצורה הטובה ביותר עבור טרינומיאלים. אם יש מספר ראשוני p המחלק את שני המונחים האחרונים באופן שווה ועונה על התנאים הבאים, לא ניתן לפשט את הפולינום:

     • מונחים קבועים (ללא משתנים) הם כפולים של p אך לא כפולים של p².
     • הקידומת (לדוגמה, a in ax²+bx+c) אינו כפולה של p.
     • לדוגמה, 14x² לא ניתן לפשט את 45x +51 מכיוון שיש מספר ראשוני (3) שיכול להתחלק ב -45 ו -51 כאחד, אך לא מתחלק ב -14, ו -51 אינו מתחלק ב -3².

   אַזהָרָה

   למרות שזה נכון לגבי טרינומים ריבועיים, הטרינומיום שניתן לחשב הוא לאו דווקא תוצר של שני בינומים. לדוגמה, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).