6 דרכים לפקטור פולינומים מדרגה שנייה (משוואות מרובעות)

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-19 22:12

פולינום מכיל משתנה (x) בעל עוצמה, המכונה תואר, וכמה מונחים ו/או קבועים. פקטור פולינום פירושו לשבור את המשוואה למשוואות פשוטות יותר שניתן להכפיל. מיומנות זו נמצאת באלגברה 1 ומעלה, וייתכן שיהיה קשה לתפוס אותה אם כישורי המתמטיקה שלך אינם ברמה זו.

שלב

הַתחָלָה

שלב 1. הגדר את המשוואה שלך

הפורמט הסטנדרטי למשוואה ריבועית הוא:

גַרזֶן² + bx + c = 0

התחל על ידי הזמנת המונחים במשוואה שלך מהעוצמה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר, בדיוק כמו בפורמט הסטנדרטי הזה. לדוגמה:

6 + 6x² 13x = 0

אנו מסדרים את המשוואה הזו כך שיהיה קל יותר לעבוד איתה על ידי הזזת המונחים:

6x² + 13x + 6 = 0

שלב 2. מצא את גורם הצורה באמצעות אחת מהשיטות הבאות

פקטור התוצאות הפולינום בשתי משוואות פשוטות יותר שניתן להכפיל אותן כדי לייצר את הפולינום המקורי:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

בדוגמה זו, (2x + 3) ו- (3x + 2) הם הגורמים של המשוואה המקורית, 6x² +13x+6.

שלב 3. בדוק את עבודתך

הכפל את הגורמים שיש לך. לאחר מכן, שלב מונחים דומים וסיימת. להתחיל עם:

(2x + 3) (3x + 2)

ננסה, להכפיל את המונחים באמצעות PLDT (ראשון - מבחוץ - בפנים - אחרון), וכתוצאה מכך:

6x² + 4x + 9x + 6

מכאן נוכל להוסיף 4x ו- 9x מכיוון שהם דומים למונחים. אנו יודעים כי הגורמים שלנו נכונים מכיוון שאנו מקבלים את המשוואה המקורית שלנו:

6x² + 13x + 6

שיטה 1 מתוך 6: ניסוי וטעייה

אם יש לך פולינום פשוט למדי, ייתכן שתוכל למצוא את הגורמים בעצמך רק על ידי הסתכלות עליהם. לדוגמה, לאחר תרגול, מתמטיקאים רבים יכולים להבין שהמשוואה 4x² + ל- 4x + 1 יש גורם של (2x + 1) ו- (2x + 1) רק על ידי התבוננות בו לעתים קרובות. (זה כמובן לא יהיה קל לפולינומים מורכבים יותר). עבור דוגמה זו, בואו נשתמש במשוואה פחות נפוצה:

3x² + 2x - 8

שלב 1. כתוב רשימה של גורמי מונח א ומונח ג

שימוש בפורמט משוואת הגרזן² + bx + c = 0, זהה את המונחים a ו- c ורשום את הגורמים שיש לשני המונחים. עבור 3x² + 2x - 8, כלומר:

a = 3 ויש לו קבוצת גורמים: 1 * 3

c = -8 ויש לו ארבע קבוצות גורמים: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ו -1 * 8.

שלב 2. רשום שתי קבוצות סוגריים עם רווחים ריקים

תמלא את החסר שיצרת עם קבועים עבור כל משוואה:

(x) (x)

שלב 3. מלא את החסר מול x בזוגות הגורמים האפשריים לערך a

עבור המונח a בדוגמה שלנו, 3x², קיימת רק אפשרות אחת לדוגמא שלנו:

(3x) (1x)

שלב 4. מלא את שני החסר לאחר x בזוגות גורמים עבור הקבוע

נניח שנבחר 8 ו- 1. כתוב בהם:

(3x

שלב 8.)(

שלב 1

שלב 5. קבע את הסימן (פלוס או מינוס) בין המשתנה x למספר

בהתאם לסימנים במשוואה המקורית, ייתכן שניתן לחפש סימנים של קבועים. נניח שאנו קוראים לשני הקבועים h ו- k לשני הגורמים שלנו:

אם גרזן² + bx + c ואז (x + h) (x + k)

אם גרזן² - bx - c או גרזן² + bx - c ואז (x - h) (x + k)

אם גרזן² - bx + c ואז (x - h) (x - k)

לדוגמא שלנו, 3x² + 2x - 8, הסימנים הם: (x - h) (x + k), נותנים לנו שני גורמים:

(3x + 8) ו- (x - 1)

שלב 6. בדוק את הבחירות שלך באמצעות הכפל הראשון-אחרון-אחרון (PLDT)

הבדיקה המהירה הראשונה היא לבדוק אם לטווח האמצעי יש לפחות את הערך הנכון. אם לא, ייתכן שבחרת בגורמי c הלא נכונים. בואו נבדוק את התשובה שלנו:

(3x + 8) (x - 1)

על ידי כפל, אנו מקבלים:

3x² - 3x + 8x - 8

מפשט משוואה זו על ידי הוספת מונחים דומים (-3x) ו- (8x), נקבל:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

כעת אנו יודעים שוודאי השתמשנו בגורמים הלא נכונים:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

שלב 7. שנה את הבחירה שלך במידת הצורך

בדוגמה שלנו, ננסה 2 ו -4 במקום 1 ו -8:

(3x + 2) (x - 4)

עכשיו המונח c שלנו הוא -8, אבל המוצר שלנו מבחוץ/מבפנים (3x * -4) ו- (2 * x) הוא -12x ו- 2x, אשר יחד לא יניב את המונח b +2x הנכון.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

שלב 8. הפוך את הצו במידת הצורך

ננסה להחליף 2 ו -4:

(3x + 4) (x - 2)

כעת, המונח c שלנו (4 * 2 = 8) נכון, אך המוצר החיצוני/פנימי הוא -6x ו 4x. אם נשלב אותם:

-6x + 4x = 2x

2x -2x אנחנו די קרובים ל- 2x שאנו מחפשים, אך הסימן שגוי.

שלב 9. בדוק שוב את התגים שלך במידת הצורך

נשתמש באותו סדר, אך נחליף את המשוואות בעלות סימן המינוס:

(3x - 4) (x + 2)

כעת המונח c אינו מהווה בעיה, והמוצר החיצוני/פנימי הנוכחי הוא (6x) ו- (-4x). כי:

6x - 4x = 2x

2x = 2x עכשיו נוכל להשתמש ב- 2x חיובי מהבעיה המקורית. אלה חייבים להיות הגורמים הנכונים.

שיטה 2 מתוך 6: פירוק

שיטה זו תזהה את כל הגורמים האפשריים של המונחים a ו- c ותשתמש בהם כדי למצוא את הגורמים הנכונים. אם המספרים גדולים מדי או אם ניחוש נראה זמן רב, השתמש בשיטה זו. בואו נשתמש בדוגמא:

6x² + 13x + 6

שלב 1. הכפל מונח א לפי מונח ג

בדוגמה זו, a הוא 6 ו- c הוא גם 6.

6 * 6 = 36

שלב 2. קבל את המונח ב על ידי פקטורינג ובדיקה

אנו מחפשים שני מספרים שהם גורמי המוצר a * c שזיהינו וגם מסתכמים במונח b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

שלב 3. החלף את שני המספרים שאתה מקבל למשוואה שלך כתוצאה מהוספת מונח ב

בואו להשתמש ב- k ו- h כדי לייצג את שני המספרים שיש לנו, 4 ו- 9:

גַרזֶן² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

שלב 4. פקטור הפולינום על ידי קיבוץ

סדר את המשוואות כך שתוכל לקחת את הגורם המשותף הגדול ביותר של המונח הראשון והשני. קבוצת הגורמים חייבת להיות זהה. הוסף את הגורם המשותף הגדול ביותר והנח אותו בסוגריים ליד קבוצת הגורמים; התוצאה היא שני הגורמים שלך:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

שיטה 3 מתוך 6: משחק טריפל

בדומה לשיטת הפירוק, שיטת המשחק המשולש בוחנת את הגורמים האפשריים של הכפלת המונחים a ו- c ושימוש בערך b. נסה להשתמש במשוואת דוגמה זו:

8x² + 10x + 2

שלב 1. הכפל מונח א לפי מונח ג

בדומה לשיטת הניתוח, זה יעזור לנו לזהות מועמדים לטווח ב '. בדוגמה זו, a הוא 8 ו- c הוא 2.

8 * 2 = 16

שלב 2. מצא שני מספרים שכאשר מכפילים אותם במספרים מייצרים מספר זה עם סכום כולל השווה למונח ב

שלב זה זהה לניתוח - אנו בודקים ומוציאים מועמדים לקבוע. תוצר המונחים a ו- c הוא 16, והמונח c הוא 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

שלב 3. קח את שני המספרים האלה ובדוק אותם על ידי חיבורם לנוסחת המשחק המשולש

קח את שני המספרים שלנו מהשלב הקודם - בוא נקרא להם h ו- k - וחבר אותם למשוואה:

((ax + h) (ax + k))/ a

אנו נקבל:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

שלב 4. שים לב אם אחד משני המונחים במונה ניתן לחלוקה ב-

בדוגמה זו, ראינו אם (8x + 8) או (8x + 2) מתחלק ב- 8. (8x + 8) מתחלק ב- 8, אז נחלק את המונח הזה ב- a ונשאיר את שאר הגורמים לבד.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

המונח בסוגריים כאן הוא מה שנותר לאחר שחלקנו במונח א.

שלב 5. קח את הגורם המשותף הגדול ביותר של אחד או שני המונחים, אם בכלל

בדוגמה זו, למונח השני, יש GCF של 2, מכיוון ש 8x + 2 = 2 (4x + 1). שלב תוצאה זו עם המונח שקיבלת מהשלב הקודם. אלה הגורמים במשוואה שלך.

2 (x + 1) (4x + 1)

שיטה 4 מתוך 6: הבדל שורשים מרובעים

כמה מקדמים בפולינומים יכולים להיות 'ריבועים', או תוצר של שני מספרים. זיהוי ריבועים אלה מאפשר לך לגדל מספר רב של פולינומים מהר יותר. נסה את המשוואה הזו:

27x² - 12 = 0

שלב 1. הוצא את הגורם המשותף הגדול ביותר במידת האפשר

במקרה זה, אנו יכולים לראות כי 27 ו -12 מתחלקים ב -3, כך שאנו מקבלים:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

שלב 2. זהה אם מקדמי המשוואה שלך הם מספרים מרובעים

כדי להשתמש בשיטה זו, עליך להיות מסוגל לקחת את השורש הריבועי של שני המונחים. (שימו לב שנתעלם מהסימן השלילי - מכיוון שמספרים אלה הם ריבועים הם יכולים להיות תוצר של שני מספרים חיוביים או שליליים)

9x² = 3x * 3x ו- 4 = 2 * 2

שלב 3. באמצעות השורש הריבועי שקיבלת, רשום את הגורמים

ניקח את הערכים של a ו- c מהשלב שלנו למעלה - a = 9 ו- c = 4, ואז נמצא את השורש הריבועי - a = 3 ו- c = 2. התוצאה היא המקדם של משוואת הגורמים:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

שיטה 5 מתוך 6: נוסחה ריבועית

אם כל השאר נכשל ולא ניתן לחשב את המשוואה בשלמותה, השתמש בנוסחה הריבועית. נסה את הדוגמה הזו:

איקס² + 4x + 1 = 0

שלב 1. הזן את הערכים הנדרשים בנוסחה הריבועית:

x = -b ± (ב² - 4ac)

2 א

נקבל את המשוואה:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

שלב 2. מצא את הערך של x

תקבל שני ערכים. כפי שמוצג למעלה, אנו מקבלים שתי תשובות:

x = -2 + (3) או x = -2 -(3)

שלב 3. השתמש בערך ה- x שלך כדי למצוא את הגורמים

חבר את ערכי x שיש לך לשתי המשוואות הפולינומיות כקבועים. התוצאה היא הגורמים שלכם. אם נקרא את התשובות שלנו h ו- k, נרשום את שני הגורמים כדלקמן:

(x - h) (x - k)

בדוגמה זו, התשובה הסופית שלנו היא:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

שיטה 6 מתוך 6: שימוש במחשבון

אם מותר לך להשתמש במחשבון, מחשבון גרפים מקל על תהליך הפקטורינג הרבה יותר, במיוחד עבור בדיקות סטנדרטיות. הוראות אלה מיועדות למחשבון הגרפים TI. נשתמש במשוואה לדוגמה:

y = x² x 2

שלב 1. הזן את המשוואה שלך במחשבון

תשתמש בפקטורינג של המשוואה, הכתובה [Y =] על המסך.

שלב 2. גרף את המשוואה באמצעות המחשבון שלך

לאחר הזנת המשוואה, הקש על [GRAPH] - תראה עקומה חלקה המייצגת את המשוואה שלך (והצורה היא עקומה מכיוון שאנו משתמשים בפולינומים).

שלב 3. מצא את המיקום שבו העקומה מצטלבת עם ציר ה- x

מאחר ומשוואות פולינום נכתבות בדרך כלל כגרזן² + bx + c = 0, צומת זה הוא הערך השני של x הגורם למשוואה להיות אפס:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

אם אינך יכול לזהות היכן הגרף מצטלב עם ציר ה- x על ידי הסתכלות עליו, הקש על [2] ולאחר מכן על [TRACE]. הקש על [2] או בחר אפס. הזז את הסמן משמאל לצומת ולחץ על [ENTER]. הזז את הסמן מימין לצומת ולחץ על [ENTER]. הזז את הסמן קרוב ככל שניתן לצומת ולחץ על [ENTER]. המחשבון ימצא את הערך של x. עשו זאת גם לצמתים האחרים

שלב 4. חבר את ערך x שהתקבל מהשלב הקודם למשוואת שתי הפקטוריאליות

אם נקרא את שני ערכי ה- x שלנו ו- k, המשוואות בהן היינו משתמשים הן:

(x - h) (x - k) = 0

לפיכך, שני הגורמים שלנו הם:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

טיפים

• אם יש לך מחשבון TI-84 (גרף), יש תוכנית בשם SOLVER שתפתור את המשוואות הריבועיות שלך. תוכנית זו תפתור פולינומים מכל תואר.
• אם מונח אינו כתוב, המקדם הוא 0. מועיל לשכתב את המשוואה אם זה המקרה, למשל: x² + 6 = x² +0x+6.
• אם חישבת את הפולינום שלך באמצעות נוסחה ריבועית וקיבלת את התשובה מבחינת שורשים, ייתכן שתרצה להמיר את הערך של x לשבר כדי לבדוק.
• אם למונח אין מקדם כתוב, המקדם הוא 1, למשל: x² = 1x².
• לאחר מספיק תרגול, בסופו של דבר תוכל לגדל פולינומים בראש שלך. עד שתוכל לעשות זאת, הקפד לרשום תמיד את הדרך.