כיצד להפיק פונקציות מרומזות: 7 שלבים (עם תמונות)

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-19 22:12

בחשבון, כאשר יש לך משוואה ל- y כתובה בצורה x (למשל y = x² -3x), קל להשתמש בטכניקות גזירה בסיסיות (המכונה על ידי מתמטיקאים כטכניקות נגזרות של פונקציות מרומזות) כדי למצוא את הנגזרת. עם זאת, למשוואות שקשה לבנות כאשר רק המונח y נמצא בצד אחד של סימן השווים (למשל x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), יש צורך בגישה אחרת. עם טכניקה הנקראת נגזרות פונקציה מרומזות, קל למצוא נגזרות של משוואות מרובות משתנות כל עוד אתה יודע את היסודות של נגזרות פונקציה מפורשות!

שלב

שיטה 1 מתוך 2: הפקת משוואות פשוטות במהירות

שלב 1. גזרו את המונחים x כרגיל

כאשר מנסים להפיק משוואה מרובת משתנים כמו x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, זה יכול להיות קשה לדעת מאיפה להתחיל. למרבה המזל, השלב הראשון של הנגזרת של פונקציה מרומזת הוא הקל ביותר. פשוט גזר את מונחי ה- x והקבועים משני צידי המשוואה על פי הכללים של נגזרות רגילות (מפורשות) מלכתחילה. התעלם מהמונחים y לעת עתה.

• בואו ננסה להפיק דוגמא למשוואה הפשוטה למעלה. איקס² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 כולל שני מונחים x: x² ו- -5x. אם אנחנו רוצים להפיק משוואה, עלינו לעשות זאת תחילה, כך:

  איקס² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (הורד לעוצמה של 2 ב x² כמקדם, הסר x ב- -5x ושנה 19 ל- 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

שלב 2. גזרו את מונחי y והוסיפו (dy/dx) ליד כל מונח

לשלב הבא שלך, פשוט גזור את מונחי y באותו אופן בו נגזרת את מונחי x. אולם הפעם הוסף (dy/dx) ליד כל מונח כפי שהיית מוסיף מקדמים. לדוגמה, אם תוריד y², ואז הנגזרת הופכת ל -2 y (dy/dx). התעלם מהמונחים שיש להם x ו- y לעת עתה.

• בדוגמה שלנו, המשוואה שלנו נראית כעת כך: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. נבצע את השלב הבא של גזירת y כדלקמן:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (הורד לעוצמה של 2 ב- y² כמקדמים, הסר את y ב- 8y, ושם dy/dx ליד כל מונח).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

שלב 3. השתמש בכלל המוצר או כלל המנה עבור מונחים בעלי x ו- y

עבודה עם מונחים שיש להם x ו- y היא קצת מסובכת, אבל אם אתה מכיר את הכללים של המוצר ומכס עבור נגזרות, יהיה לך קל. אם מונחים x ו- y מוכפלים, השתמש בכלל המוצר ((f × g) '= f' × g + g × f '), החלפת המונח x ב- f והמונח y ב- g. מצד שני, אם המונחים x ו- y אינם סותרים זה את זה, השתמש בכלל המנה ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), החלפת המונה ב- f והמכנה ב- g.

• בדוגמה שלנו, 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, יש לנו רק מונח אחד בעל x ו- y - 2xy². מכיוון שכפול x ו- y מוכפלים זה בזה, נשתמש בכלל המוצר כדי להפיק כדלקמן:

  2xy² = (2x) (y²)- הגדר 2x = f ו- y² = g ב (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= שנתיים² + 4xy (dy/dx)

• אם נוסיף זאת למשוואה העיקרית שלנו, אנו מקבלים 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

שלב 4. לבד (dy/dx)

כמעט סיימת! כל שעליך לעשות הוא לפתור את המשוואה (dy/dx). זה נראה קשה, אבל זה בדרך כלל לא - זכור כי כל שני מונחים a ו- b מוכפלים ב- (dy/dx) ניתן לכתוב כ (a + b) (dy/dx) בגלל המאפיין החלוקתי של הכפל. טקטיקה זו יכולה להקל על הבידוד (dy/dx) - פשוט להזיז את כל שאר המונחים בצד השני של הסוגריים, ואז לחלק במונחים בסוגריים ליד (dy/dx).

• בדוגמה שלנו, אנו מפשטים 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 כדלקמן:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

שיטה 2 מתוך 2: שימוש בטכניקות מתקדמות

שלב 1. הזן את הערך (x, y) כדי למצוא (dy/dx) עבור כל נקודה

בטוח! כבר הפקת את המשוואה שלך במרומז - עבודה לא קלה בניסיון הראשון! שימוש במשוואה זו כדי למצוא את השיפוע (dy/dx) עבור כל נקודה (x, y) הוא פשוט כמו חיבור ערכי x ו- y עבור הנקודה שלך בצד ימין של המשוואה, ואז מציאת (dy/dx).

• לדוגמה, נניח שאנו רוצים למצוא את השיפוע בנקודה (3, -4) למשוואה לדוגמה שלנו למעלה. לשם כך נחליף 3 ב- x ו- -4 ב- y, ונפתור כדלקמן:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(--48) = 3/48, או 0, 6875.

שלב 2. השתמש בכלל השרשרת עבור פונקציות בתוך פונקציות

כלל השרשרת הוא פיסת ידע חשובה שיש לך בעת עבודה על בעיות חשבון (כולל בעיות נגזרות בתפקוד מרומז). כלל השרשרת קובע כי עבור פונקציה F (x) שניתן לכתוב כ (f o g) (x), הנגזרת של F (x) שווה ל- f '(g (x)) g' (x). לבעיות נגזרות של פונקציות מרומזות קשות, פירוש הדבר שאפשר להפיק את החלקים האינדיבידואליים השונים של המשוואה, ולאחר מכן לשלב את התוצאות.

• כדוגמה פשוטה, נניח שעלינו למצוא את הנגזרת של חטא (3x² + x) כחלק מהבעיה הנגזרת של הפונקציה המרומזת הגדולה יותר למשוואה החטא (3x² + x) + y³ = 0. אם אנו מדמיינים את החטא (3x² + x) כ f (x) ו- 3x² + x כ- g (x), נוכל למצוא את הנגזרת כדלקמן:

  f '(g (x)) g' (x)

  (חטא (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

שלב 3. עבור משוואות עם המשתנים x, y ו- z, מצא (dz/dx) ו- (dz/dy)

אף על פי שהם יוצאי דופן בחשבון בסיסי, חלק מהיישומים המתקדמים עשויים לדרוש גזירת פונקציות מרומזות של יותר משני משתנים. עבור כל משתנה נוסף, עליך למצוא את הנגזרת הנוספת שלו ביחס ל- x. לדוגמה, אם יש לך x, y ו- z, עליך לחפש הן (dz/dy) והן (dz/dx). אנו יכולים לעשות זאת על ידי גזירת המשוואה ביחס ל- x פעמיים - ראשית, ניכנס (dz/dx) בכל פעם שנפיק מונח המכיל z, ושנית, נוסיף (dz/dy) בכל פעם שנפיק z. אחרי זה, זה רק עניין של פתרון (dz/dx) ו- (dz/dy).

• לדוגמה, נניח שאנחנו מנסים להפיק את x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• ראשית, בואו נגזור כנגד x ונזין (dz/dx). אל תשכח ליישם את כלל המוצר במידת הצורך!

  איקס³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5y⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5y⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• עכשיו, עשה את אותו הדבר עבור (dz/dy)

  איקס³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)