לכל פונקציה שני משתנים, כלומר המשתנה הבלתי תלוי והמשתנה התלוי. ממש הערך של המשתנה התלוי "תלוי" במשתנה הבלתי תלוי. לדוגמה, בפונקציה y = f (x) = 2 x + y, x הוא המשתנה הבלתי תלוי ו- y הוא המשתנה התלוי (במילים אחרות, y הוא פונקציה של x). ערכים חוקיים עבור המשתנה x הידוע נקראים "תחומי מוצא". ערכים תקפים למשתנה y הידוע נקראים "טווח התוצאות".
שלב
חלק 1 מתוך 3: מציאת התחום של פונקציה
שלב 1. החליט איזה סוג פונקציה אתה עומד לבצע
התחום של הפונקציה הוא כל ערכי ה- x (ציר אופקי) שיחזירו ערכי y חוקיים. משוואת הפונקציה עשויה להיות ריבועית, שבר או להכיל שורש. כדי לחשב את תחום הפונקציה, הדבר הראשון שעליך לעשות הוא לבחון את המשתנים במשוואה.
- לפונקציה ריבועית יש את הציר גרזן2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- דוגמאות לפונקציות עם שברים כוללות: f (x) = (1/איקס), f (x) = (x+1)/(x - 1), ואחרים.
- פונקציות שיש להן שורשים כוללות: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x וכן הלאה.
שלב 2. רשום את הדומיין בסימון מתאים
כתיבת התחום של פונקציה כרוכה בשימוש בסוגריים מרובעים [,] וכן בסוגריים (,). השתמש בסוגריים מרובעים [,] אם המספר שייך לדומיין והשתמש בסוגריים (,) אם התחום אינו כולל את המספר. האות U מציינת איחוד המחבר בין חלקים מהתחום שעשויים להיות מופרדים במרחק.
- לדוגמה, התחום של [-2, 10) U (10, 2] כולל -2 ו -2, אך אינו כולל את המספר 10.
- השתמש תמיד בסוגריים () אם אתה משתמש בסמל אינסוף,.
שלב 3. צייר גרף של המשוואה הריבועית
משוואות ריבועיות מייצרות גרף פרבולי שנפתח למעלה או למטה. בהתחשב בכך שהפרבולה תמשיך באינסוף בציר ה- x, התחום של רוב המשוואות הריבועיות הוא כולו מספרים ממשיים. במילים אחרות, משוואה ריבועית כוללת את כל ערכי ה- x בשורת המספרים, ונותנת את התחום ר (סמל לכל המספרים האמיתיים).
- כדי לפתור את הפונקציה, בחר ערך x כלשהו והזן אותו בפונקציה. פתרון פונקציה עם ערך x יחזיר ערך y. הערכים של x ו- y הם הקואורדינטות (x, y) של גרף של הפונקציה.
- ציירו את הקואורדינטות האלה בגרף וחזרו על התהליך עם ערך x נוסף.
- רישום חלק מהערכים במודל זה ייתן לך סקירה כללית של צורת הפונקציה הריבועית.
שלב 4. אם משוואת הפונקציה היא שבר, הפוך את המכנה שווה לאפס
כאשר עובדים עם שברים, לעולם אינכם יכולים לחלק באפס. על ידי הפיכת המכנה שווה לאפס ומציאת הערך של x, ניתן לחשב את הערכים שחולצים מהפונקציה.
- לדוגמה: קבע את התחום של הפונקציה f (x) = (x+1)/(x - 1).
- המכנה של הפונקציה הוא (x - 1).
- הפוך את המכנה שווה לאפס וחשב את הערך של x: x - 1 = 0, x = 1.
- רשמו את התחום: התחום של הפונקציה אינו כולל 1, אלא כולל את כל המספרים האמיתיים למעט 1; לכן, התחום הוא (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) ניתן לקרוא את U (1,) כאוסף של כל המספרים האמיתיים למעט 1. הסמל לאינסוף, מייצג את כל המספרים האמיתיים. במקרה זה, כל המספרים האמיתיים הגדולים מ -1 ופחות מ -1 כלולים בתחום.
שלב 5. אם המשוואה היא פונקציית שורש, הפוך את משתני השורש לאפס גדולים או שווים
אינך יכול להשתמש בשורש הריבועי של מספר שלילי; לפיכך, יש להסיר כל ערך x המוביל למספר שלילי מתחום הפונקציה.
- לדוגמה: מצא את התחום של הפונקציה f (x) = (x + 3).
- המשתנים בשורש הם (x + 3).
- הפוך את הערך לאפס גדול או שווה לו: (x + 3) 0.
- חשב את הערך עבור x: x -3. פתור עבור x: x -3.
- תחום הפונקציה כולל את כל המספרים האמיתיים הגדולים או שווים ל- -3; לכן, התחום הוא [-3,).
חלק 2 מתוך 3: מציאת הטווח של משוואה ריבועית
שלב 1. ודא שיש לך פונקציה ריבועית
לפונקציה הריבועית יש את הצורה ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. הגרף של הפונקציה הריבועית הוא פרבולה שנפתחת למעלה או למטה. ישנן דרכים שונות לחשב את טווח הפונקציה בהתאם לסוג הפונקציה עליה אתה עובד.
הדרך הקלה ביותר לקבוע את טווח הפונקציות האחרות, כגון פונקציית שורש או פונקציית שברים, היא גרף את הפונקציה באמצעות מחשבון גרפים
שלב 2. מצא את ערך ה- x של קודקוד הפונקציה
קודקוד הפונקציה הריבועית הוא קודקוד הפרבולה. זכור, צורת הפונקציה הריבועית היא גרזן2 + bx + c. כדי למצוא את קואורדינטות ה- x השתמשו במשוואה x = -b/2a. המשוואה היא נגזרת של פונקציה ריבועית בסיסית המייצגת משוואה עם שיפוע/שיפוע אפס (בקודקוד הגרף שיפוע הפונקציה הוא אפס).
- לדוגמה, מצא את הטווח של 3x2 + 6x -2.
- חשב את קואורדינטות ה- x של הקודקוד: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
שלב 3. חישוב ערך ה- y של קודקוד הפונקציה
חבר את קואורדינטות ה- x לפונקציה כדי לחשב את ערך ה- y המתאים של הקודקוד. ערך y זה מציין את הגבול של טווח הפונקציה.
- חשב את קואורדינטת y: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- הקודקוד של פונקציה זו הוא (-1, -5).
שלב 4. קבע את כיוון הפרבולה על ידי חיבור ערך x אחד נוסף לפחות
בחר כל ערך x אחר וחבר אותו לפונקציה כדי לחשב את ערך ה- y המתאים. אם ערך y נמצא מעל הקודקוד, הפרבולה ממשיכה ל +∞. אם ערך y נמצא מתחת לקודקוד, הפרבולה תמשיך ל- -∞.
- השתמש בערך x -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- חישוב זה מחזיר את הקואורדינטות (-2, -2).
- קואורדינטות אלה מראות לך שהפרבולה ממשיכה מעל הקודקוד (-1, -5); לכן הטווח כולל את כל ערכי y הגבוהים מ -5.
- הטווח של פונקציה זו הוא [-5,).
שלב 5. רשום את הטווח בסימון מתאים
בדומה לדומיינים, טווחים נכתבים עם אותו סימון. השתמש בסוגריים מרובעים [,] אם המספר נמצא בטווח והשתמש בסוגריים (,) אם הטווח אינו כולל את המספר. האות U מציינת איחוד המחבר חלקים מהטווח שעשויים להיות מופרדים במרחק.
- לדוגמה, הטווח של [-2, 10) U (10, 2] כולל -2 ו -2, אך אינו כולל את המספר 10.
- השתמש תמיד בסוגריים אם אתה משתמש בסמל האינסוף,.
חלק 3 מתוך 3: מציאת הטווח מתרשים של פונקציה
שלב 1. צייר את הפונקציה
לעתים קרובות הדרך הקלה ביותר לקבוע את טווח הפונקציה היא לתכנן אותה. לפונקציות שורש רבות יש טווח (-∞, 0] או [0, +∞) מכיוון שהקודקוד של הפרבולה האופקית (פרבולה הצידה) נמצא על ציר x האופקי. במקרה זה, הפונקציה כוללת את כל ערכי y החיוביים אם הפרבולה נפתחת, או כל ערכי ה- y השליליים אם הפרבולה נפתחת כלפי מטה. לפונקציות שבריריות יהיו אסימפטוטות (קווים שלעולם לא נחתכים בקו ישר / עקום אך ניגשים אליהם עד אינסוף) המגדירים את טווח הפונקציה.
- כמה פונקציות שורש יתחילו מעל או מתחת לציר ה- x. במקרה זה, הטווח נקבע על פי המספר שבו מתחילה פונקציית השורש. אם הפרבולה מתחילה ב- y = -4 ועולה אז הטווח הוא [-4, +∞).
- הדרך הקלה ביותר לצייר פונקציה היא להשתמש בתוכנית גרפים או במחשבון גרפים.
- אם אין לך מחשבון גרפים, תוכל לצייר סקיצה גסה של הגרף על ידי חיבור ערך ה- x לפונקציה וקבלת ערך ה- y המתאים. צייר את הקואורדינטות האלה בגרף כדי לקבל מושג איך הגרף נראה.
שלב 2. מצא את הערך המינימלי של הפונקציה
מיד לאחר ציור הפונקציה, אתה אמור להיות מסוגל לראות בבירור את הנקודה הנמוכה ביותר של הגרף. אם אין ערך מינימלי ברור, דע כי חלק מהפונקציות ימשיכו ב- -∞ (אינסוף).
פונקציית שבר תכלול את כל הנקודות למעט הנקודות המופיעות באסימפטוטים. לפונקציה יש טווח כמו (-∞, 6) U (6,)
שלב 3. קבע את הערך המרבי של הפונקציה
שוב, לאחר שצייר את הגרף, אתה אמור להיות מסוגל לזהות את הנקודה המרבית של הפונקציה. חלק מהפונקציות ימשיכו ב- +∞ ולכן, לא יהיה להם ערך מינימלי.
שלב 4. כתוב את הטווח בסימון מתאים
בדומה לדומיינים, טווחים נכתבים עם אותו סימון. השתמש בסוגריים מרובעים [,] אם המספר נמצא בטווח והשתמש בסוגריים (,) אם הטווח אינו כולל את המספר. האות U מציינת איחוד המחבר בין חלקים מהטווח שעשויים להיות מופרדים במרחק.
- לדוגמה, הטווח של [-2, 10) U (10, 2] כולל -2 ו -2, אך אינו כולל את המספר 10.
- השתמש תמיד בסוגריים אם אתה משתמש בסמל האינסוף,.
