איך לצייר גרף מרובע: 10 שלבים (עם תמונות)

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-02-01 14:13

כאשר היא מיוצגת באופן גרפי, המשוואה הריבועית היא בצורה גַרזֶן² + bx + c אוֹ א (x - h)² + k יוצרים את האות U או עקומת U הפוכה הנקראת פרבולה. ציור משוואה ריבועית מחפש את הקודקוד, הכיוון, ולעתים קרובות את צומת x ו- y. במקרים של משוואות ריבועיות פשוטות למדי, הכנסה של קבוצת ערכי x והתוויית העקומה המבוססת על הנקודות המתקבלות עשויה להיות מספקת. עיין בשלב 1 להלן כדי להתחיל.

שלב

שלב 1. קבע את צורת המשוואה הריבועית שיש לך

ניתן לכתוב משוואות ריבועיות בשלוש צורות שונות: צורה כללית, צורת קודקוד וצורה ריבועית. אתה יכול להשתמש בכל צורה לתרשים משוואה ריבועית; תהליך תיאור כל גרף שונה במקצת. אם אתה עושה שיעורי בית, בדרך כלל תקבל שאלות באחת משתי הצורות הבאות - במילים אחרות, לא תוכל לבחור, ולכן עדיף להבין את שתיהן. שתי צורות המשוואה הריבועית הן:

• טופס כללי.

  בצורה זו, המשוואה הריבועית כתובה כ: f (x) = ax² + bx + c כאשר a, b ו- c הם מספרים אמיתיים ו- a אינו אפס.

  לדוגמה, שתי משוואות ריבועיות של צורה כללית הן f (x) = x² + 2x + 1 ו- f (x) = 9x² + 10x -8.

• צורת שיא.

  בצורה זו, המשוואה הריבועית כתובה כ: f (x) = a (x - h)² + k כאשר a, h ו- k הם מספרים אמיתיים ו- a אינו אפס. זה נקרא צורת הקודקוד כי h ו- k יתנו מיד את הקודקוד (נקודת האמצע) של הפרבולה שלך בנקודה (h, k).

  שתי משוואות צורת הקודקוד הן f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ו- -3 (x - 5)² + 1

• כדי לשרטט כל סוג משוואה, עלינו קודם כל למצוא את קודקוד הפרבולה, שהיא נקודת האמצע (h, k) בסוף העקומה. קואורדינטות הפסגות בצורה הכללית מחושבות כך: h = -b/2a ו- k = f (h), ואילו בצורת השיא, h ו- k נמצאים במשוואה.

שלב 2. הגדר את המשתנים שלך

על מנת לפתור בעיה ריבועית, בדרך כלל יש להגדיר את המשתנים a, b ו- c (או a, h ו- k). בעיה רגילה באלגברה תעניק משוואה ריבועית עם המשתנים הזמינים, בדרך כלל בצורה כללית, אך לפעמים בצורה שיא.

• לדוגמה, עבור משוואה של צורה כללית f (x) = 2x² + 16x + 39, יש לנו a = 2, b = 16 ו- c = 39.
• עבור משוואת צורת השיא f (x) = 4 (x - 5)² + 12, יש לנו a = 4, h = 5 ו- k = 12.

שלב 3. חישוב h

במשוואת הטופס הקודקוד, ערך ה- h שלך כבר נתון, אך במשוואת הצורה הכללית יש לחשב את ערך h. זכור כי עבור משוואות של צורה כללית, h = -b/2a.

• בדוגמה הכללית שלנו (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). לאחר הפתרון, אנו מוצאים כי h = - 4.
• בדוגמה שלנו בקודקוד (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), אנו יודעים כי h = 5 מבלי לעשות שום חשבון.

שלב 4. חישוב k

כמו h, k כבר ידוע במשוואת צורת השיא. עבור משוואות של צורה כללית, זכור כי k = f (h). במילים אחרות, אתה יכול למצוא k על ידי החלפת כל ערכי x במשוואה שלך לערכי h שמצאת זה עתה.

• כבר קבענו בדוגמא הכללית שלנו ש- h = -4. כדי למצוא k, אנו פותרים את המשוואה שלנו על ידי חיבור הערך של h במקום x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    שלב 7.

• בדוגמת שיא הצורה שלנו, שוב, אנו יודעים את הערך של k (שהוא 12) מבלי לעשות שום חשבון.

שלב 5. צייר את השיא שלך

קודקוד הפרבולה שלך הוא הנקודה (h, k)-h מייצג את קואורדינטת x, בעוד k מייצג את קואורדינטת y. הקודקוד הוא נקודת האמצע של הפרבולה שלך - בתחתית ה- U או בחלק העליון של ה- U הפוך. הכרת הקודקודים היא חלק חשוב בציור פרבולה מדויקת - לעתים קרובות, במהלך הלימודים, קביעת הקודקוד היא החלק שיש לחפש בשאלה.

• בדוגמה הכללית שלנו, השיא שלנו הוא (-4, 7). לפיכך, הפרבולה שלנו תסתיים ב -4 מדרגות שמאלה מ -0 ו -7 שלבים למעלה (0, 0). עלינו לתאר נקודה זו בגרף שלנו, תוך הקפדה על סימון הקואורדינטות.
• בדוגמה שלנו בצורת הקודקוד, הקודקוד שלנו הוא (5, 12). עלינו לצייר נקודה 5 צעדים ימינה ו -12 שלבים למעלה (0, 0).

שלב 6. צייר את ציר הפרבולה (אופציונלי)

ציר הסימטריה של פרבולה הוא קו העובר במרכזו ומחלק אותו בדיוק באמצע. בציר זה, הצד השמאלי של הפרבולה ישקף את הצד הימני. למשוואות ריבועיות בצורת גרזן² + bx + c או a (x - h)² + k, ציר הסימטריה הוא הקו המקביל לציר y (במילים אחרות, אנכי בדיוק) ועובר דרך הקודקוד.

במקרה של דוגמת הצורה הכללית שלנו, הציר הוא הקו המקביל לציר y ועובר בנקודה (-4, 7). למרות שזה לא חלק מהפרבולה, סימון דק של קו זה בגרף יעזור לך בסופו של דבר לראות את הצורה הסימטרית של עקומת הפרבולה

שלב 7. מצא את כיוון פתיחת הפרבולה

לאחר הכרת השיא והציר של הפרבולה, בשלב הבא עלינו לדעת אם הפרבולה נפתחת או מטה. למרבה המזל, זה קל. אם הערך של a הוא חיובי, הפרבולה תיפתח כלפי מעלה, ואילו אם הערך של a הוא שלילי, הפרבולה תיפתח כלפי מטה (כלומר, הפרבולה תהפוך).

• לדוגמא הצורה הכללית שלנו (f (x) = 2x² + 16x + 39), אנו יודעים שיש לנו פרבולה שנפתחת מכיוון שבמשוואה שלנו a = 2 (חיובי).
• לדוגמא שלנו בצורת הקודקוד (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), אנו יודעים שיש לנו גם פרבולה שנפתחת מכיוון a = 4 (חיובי).

שלב 8. במידת הצורך, מצא וצייר את חיתוך ה- x

לעתים קרובות, במהלך הלימודים תתבקשו למצוא את חיתוך ה- x בפרבולה (שהיא נקודה אחת או שתיים שבהן הפרבולה פוגשת את ציר ה- x). גם אם אינך מוצא אחת, שתי הנקודות הללו חשובות מאוד לציור פרבולה מדויקת. עם זאת, לא לכל הפרבולות יש יירוט x. אם לפרבולה שלך יש קודקוד שנפתח והקודקוד שלו נמצא מעל ציר ה- x או אם הוא נפתח כלפי מטה והקודקוד שלו נמצא מתחת לציר ה- x, לפרבולה לא יהיה יירוט x. אחרת, פתר את יירוט ה- x שלך באחת מהדרכים הבאות:

• פשוט הפוך f (x) = 0 ופתור את המשוואה. ניתן להשתמש בשיטה זו למשוואות ריבועיות פשוטות, במיוחד בצורת שיא, אך תהיה קשה מאוד למשוואות מורכבות. ראה להלן דוגמה

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • שורש (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ו -13 הוא חיתוך ה- x בפרבולה.

• פקטור המשוואה שלך. כמה משוואות בצורת גרזן² ניתן בקלות לייחס את bx + c לצורה (dx + e) (fx + g), כאשר dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx ו- e × g = c. במקרה זה, יירוט ה- x שלך הוא x ערכים שיהפכו כל מונח בסוגריים = 0. לדוגמה:

  • איקס² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • במקרה זה, יירוט x היחיד שלך הוא -1 מכיוון שהפיכת x שווה -1 יהפוך כל מונח גורם בסוגריים ל -0.

• השתמש בנוסחה הריבועית. אם אינך יכול לפתור בקלות את יירוט x שלך או לשקול את המשוואה שלך, השתמש במשוואה מיוחדת הנקראת נוסחה ריבועית שנוצרה למטרה זו. אם זה עדיין לא נפתר, המר את המשוואה שלך לציר הגרזן² + bx + c, ולאחר מכן הזן a, b ו- c לתוך הנוסחה x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. שים לב כי שיטה זו נותנת לך לעתים קרובות שתי תשובות לערך x, וזה בסדר-זה רק אומר שלפרבולה שלך יש שני יירוט x. ראה להלן דוגמה:

  • -5x² 1x + 10 מוכנס לנוסחה הריבועית כך:
  • x = (-1 +/- שורש (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- שורש (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- שורש (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) ו- (-15, 18/-10). חיתוך ה- x בפרבולה הוא x = - 1, 318 ו 1, 518
  • הדוגמה הקודמת שלנו לצורה הכללית, 2x² +16x+39 מוכנס לנוסחה הריבועית כדלקמן:
  • x = (-16 +/- שורש (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- שורש (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- שורש (-56)/-10
  • מכיוון שאי אפשר למצוא את השורש הריבועי של מספר שלילי, אנו יודעים כי פרבולה זו אין לו יירוט x.

שלב 9. במידת הצורך, מצא וצייר את יירוט y

למרות שלרוב אין צורך לחפש את יירוט ה- y במשוואות (הנקודה שבה הפרבולה עוברת בציר y), בסופו של דבר ייתכן שתצטרך למצוא אותה, במיוחד אם אתה בבית הספר. התהליך פשוט למדי-פשוט בצע x = 0, ולאחר מכן פתר את המשוואה שלך עבור f (x) או y, שנותן את הערך של y היכן שהפרבולה שלך עוברת בציר y. שלא כמו יירוט x, לפרבולה רגילה יכולה להיות רק יירוט אחד של y. הערה-עבור משוואות של צורה כללית, יירוט y הוא ב y = c.

• לדוגמה, אנו יודעים שהמשוואה הריבועית שלנו היא 2x² ל + 16x + 39 יש חיתוך y ב y = 39, אך ניתן למצוא אותו גם באופן הבא:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. יירוט ה- y של הפרבולה נמצא ב y = 39.

    כפי שצוין לעיל, יירוט y הוא ב- y = c.

• צורת משוואת הקודקוד שלנו היא 4 (x - 5)² ל- + 12 יש יירוט של y שניתן למצוא אותו באופן הבא:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. יירוט ה- y של הפרבולה נמצא ב y = 112.

שלב 10. אם יש צורך, צייר נקודות נוספות, ולאחר מכן צייר גרף

עכשיו יש לך את הקודקוד, הכיוון, יירוט x, ואולי, יירוט y במשוואה שלך. בשלב זה תוכל לנסות לצייר את הפרבולה שלך באמצעות הנקודות שיש לך כמדריך, או לחפש נקודות אחרות למלא את הפרבולה שלך כך שהעקומה שאתה מצייר תהיה מדויקת יותר. הדרך הקלה ביותר לעשות זאת היא פשוט להזין כמה ערכי x בכל צד של הקודקוד שלך, ולאחר מכן לשרטט את הנקודות הללו באמצעות ערכי y שאתה מקבל. לעתים קרובות, המורים מבקשים ממך לחפש מספר נקודות לפני ציור הפרבולה שלך.

• בואו נסקור את המשוואה x² + 2x + 1. אנחנו כבר יודעים שהיירוט x הוא רק ב- x = -1. מכיוון שהעקומה נוגעת בנקודת יירוט x בלבד בנקודה אחת, נוכל להסיק כי הקודקוד הוא יירוט x שלו, כלומר הקודקוד הוא (-1, 0). למעשה יש לנו רק נקודה אחת לפרבולה הזו - לא מספיק כדי לצייר פרבולה טובה. בואו נחפש כמה נקודות אחרות כדי לוודא שאנחנו מציירים גרף יסודי.

  • בואו למצוא את ערכי y עבור ערכי x הבאים: 0, 1, -2 ו- -3.
  • עבור 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. הנקודה שלנו היא (0, 1).

  • עבור 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. הנקודה שלנו היא (1, 4).

  • עבור -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. הנקודה שלנו היא (-2, 1).

  • עבור -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. הנקודה שלנו היא (-3, 4).

  • צייר את הנקודות האלה על הגרף וצייר את העקומה בצורת U שלך. שים לב שהפרבולה סימטרית לחלוטין - כאשר הנקודות שלך בצד אחד של הפרבולה הן מספרים שלמים, בדרך כלל אתה יכול להפחית את עבודת ההחזרה של נקודה מסוימת בציר הסימטריה של הפרבולה כדי למצוא את אותה נקודה בצד השני של הפרבולה..

טיפים

• עגול מספרים או השתמש בשברים בהתאם לבקשת המורה שלך לאלגברה. זה יעזור לך לשרטט טוב יותר את המשוואה הריבועית.
• שים לב שב f (x) = ax² + bx + c, אם b או c שווה לאפס, המספרים האלה ייעלמו. לדוגמה, 12x² + 0x + 6 הופך ל 12x² + 6 כי 0x זה 0.