מרחק, לעתים נתון למשתנה "s", הוא מדידה של מרחב שהוא קו ישר בין שתי נקודות. המרחק יכול להתייחס למרחב שבין שתי נקודות בלתי נעות (לדוגמה, גובהו של אדם הוא המרחק מתחתית כפות הרגליים לראש הראש) או שהוא יכול להתייחס לרווח שבין המיקום הנוכחי של אובייקט בתנועה לבין המיקום הראשוני שבו החפץ החל לנוע. ניתן לפתור את רוב בעיות המרחק באמצעות המשוואה s = v × t, כאשר s הוא המרחק, v הוא המהירות הממוצעת, ו- t הוא הזמן או השימוש s = ((x2 - איקס1)2 + (י2 - י1)2), היכן (x1, י1) ו- (x2, י2) הם קואורדינטות x ו- y של שתי הנקודות.
שלב
שיטה 1 מתוך 2: חישוב מרחק במהירות ממוצעת וזמן
שלב 1. מצא את ערכי המהירות והזמן הממוצעים
כאשר מנסים לחשב את המרחק שעבר עצם נע, ישנם שני פיסות מידע שחשובות לחישוב זה: מְהִירוּת (או מהירות) ו זְמַן שהאובייקט הנע נסע. בעזרת מידע זה ניתן לחשב את המרחק שעבר האובייקט באמצעות הנוסחה s = v × t.
כדי להבין טוב יותר את תהליך השימוש בנוסחת המרחק, בואו נפתור בעיה לדוגמה בסעיף זה. נניח שאנחנו נוסעים בכביש במהירות של 120 מייל לשעה (כ -193 קמ"ש) ואנחנו רוצים לדעת כמה רחוק נספיק בחצי שעה. להשתמש 120 מייל לשעה כערך המהירות הממוצעת ו- 0.5 שעות כערך הזמן, נפתור בעיה זו בשלב הבא.
שלב 2. הכפל את המהירות הממוצעת לפי הזמן
לאחר שהכרתם את המהירות הממוצעת של אובייקט הנע ואת הזמן שעבר, חישוב המרחק שעבר הוא קל יחסית. פשוט הכפל את שני הערכים כדי למצוא את התשובה.
- עם זאת, שים לב שאם יחידת הזמן המשמשת את ערך המהירות הממוצעת שונה מזו המשמשת את ערך הזמן, יהיה עליך לשנות אחת להתאמה. לדוגמה, אם היה לנו ערך מהירות ממוצע הנמדד בק"מ לשעה וערך זמן שנמדד בדקות, יהיה עליך לחלק את ערך הזמן ב- 60 כדי להפוך אותו לשעות.
- בואו נסיים את הבעיה לדוגמה שלנו. 120 מייל/שעה × 0.5 שעות = 60 מייל. שים לב כי היחידות בערך הזמן (שעות) משמיטות את המכנה של המהירות הממוצעת (שעות) ומשאירות רק את יחידות המרחק (מייל).
שלב 3. שנה את המשוואה לחישוב משתנה אחר
הפשטות של משוואת המרחק הבסיסית (s = v × t) מקלה על השימוש במשוואה כדי למצוא את הערך של משתנה שאינו מרחק. פשוט בודד את המשתנה שברצונך למצוא על פי כללי האלגברה הבסיסיים, ולאחר מכן הזן את הערכים של שני המשתנים האחרים כדי למצוא את ערך המשתנה השלישי. במילים אחרות, כדי לחשב את המהירות הממוצעת של האובייקט, השתמש במשוואה v = s/t וכדי לחשב את הזמן שחלף האובייקט, השתמש במשוואה t = s/v.
- לדוגמה, נניח שאנחנו יודעים שמכונית עברה 60 מייל ב -50 דקות, אך אין לנו ערך למהירות הממוצעת בזמן שהאובייקט נע. במקרה זה, אנו יכולים לבודד את המשתנה v במשוואת המרחק הבסיסית כדי לקבל v = d/t, ואז פשוט לחלק 60 מייל/50 דקות כדי לקבל את התשובה 1.2 מייל/דקה.
- שים לב שבדוגמה, התשובה למהירות כוללת יחידה יוצאת דופן (מייל/דקה). כדי לקבל תשובה בקילומטרים/שעה הנפוצים יותר, הכפל ב- 60 דקות/שעה כדי לקבל את התוצאה 72 מייל/שעה.
שלב 4. שים לב שהמשתנה "v" בנוסחת המרחק מתייחס למהירות הממוצעת
חשוב להבין כי נוסחת המרחק הבסיסית מציעה מבט פשוט על תנועת אובייקט. נוסחת המרחק מניחה שלאובייקט בתנועה יש מהירות קבועה - במילים אחרות, היא מניחה שלאובייקט בתנועה יש מהירות אחת, ללא שינוי. לבעיות מתמטיות מופשטות, כגון אלה שאתה עלול להיתקל בהן במסגרת אקדמית, לפעמים עדיין ניתן לדגמן את תנועתו של אובייקט באמצעות הנחה זו. עם זאת, בחיים האמיתיים, דוגמאות אלה לרוב אינן משקפות במדויק את תנועתם של עצמים נעים, אשר למעשה יכולים להאיץ, להאט, לעצור ולהפוך לאורך זמן.
- לדוגמה, בבעיית הדוגמא שלמעלה, הגענו למסקנה שכדי לכסות 60 מייל תוך 50 דקות, נצטרך לנסוע במהירות של 72 מייל לשעה. עם זאת, הדבר נכון רק אם נוסעים במהירות אחת לאורך כל הנסיעה. לדוגמה, בנסיעה של 80 מייל לשעה לחצי מהנסיעה ו -64 מייל לשעה לחצי הנותר, עדיין נכסה 60 מייל תוך 50 דקות - 72 מייל/שעה = 60 מייל/50 דקות = ?????
- פתרונות מבוססי חשבון המשתמשים בנגזרות הם לרוב בחירה טובה יותר מאשר נוסחאות מרחק להגדרת מהירות האובייקט במצבים אמיתיים מכיוון ששינויים במהירות אפשריים.
שיטה 2 מתוך 2: חישוב המרחק בין שתי נקודות
שלב 1. מצא את שתי הקואורדינטות המרחביות של שתי הנקודות
מה אם, במקום לחשב את המרחק שחפץ נע זז, עליך לחשב את המרחק בין שני עצמים שאינם נעים? במקרה כזה, נוסחת המרחק המבוססת על מהירות שתוארה לעיל לא תעבוד. למרבה המזל, ניתן להשתמש בנוסחאות מרחק שונות לחישוב מרחק הקו הישר בין שתי נקודות. עם זאת, כדי להשתמש בנוסחה זו, יהיה עליך לדעת את הקואורדינטות של שתי הנקודות. אם מטפלים במרחקים חד-ממדיים (כמו בשורת מספרים), הקואורדינטות יהיו מורכבות משני מספרים, x1 ו- x2. אם אתה מטפל במרחקים בשני ממדים, תזדקק לשני ערכים (x, y), (x1, י1) ו- (x2, י2). לבסוף, תלת מימד תזדקק לערך (x1, י1, ז1) ו- (x2, י2, ז2).
שלב 2. חשב את המרחק החד ממדי על ידי הפחתת ערכי הקואורדינטות של שתי נקודות
חישוב המרחק החד ממדי בין שתי נקודות כאשר אתה כבר יודע שהערך של כל נקודה הוא קל. פשוט השתמש בנוסחה s = | x2 - איקס1|. בנוסחה זו, אתה מפחית את x1 מ- x2, ואז קח את הערך המוחלט של התשובה שלך כדי למצוא את המרחק בין x1 ו- x2. בדרך כלל, תרצה להשתמש בנוסחת המרחק החד-ממדי כאשר שתי הנקודות נמצאות על קו או ציר מספר.
- שים לב כי נוסחה זו משתמשת בערכים מוחלטים (סמל " | | ערך מוחלט פירושו רק שהערך שבתוך הסמל הופך לחיובי אם הוא שלילי.
-
לדוגמה, נניח שאנחנו עוצרים בצד הדרך על כביש ישר לחלוטין. אם יש עיר 5 קילומטרים לפנינו ועוד עיר קילומטר אחד מאחורינו, כמה רחוקות הן שתי הערים? אם נקבע את עיר 1 כ- x1 = 5 ועיר 2 כ- x1 = -1, אנו יכולים לחשב את s, המרחק בין שתי הערים, באופן הבא:
- s = | x2 - איקס1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 קילומטרים.
שלב 3. חשב את המרחק הדו-ממדי באמצעות משפט פיתגורס
חישוב המרחק בין שתי נקודות במרחב הדו-ממדי מסובך יותר מאשר חד-ממדי, אך לא קשה. פשוט השתמש בנוסחה s = ((x2 - איקס1)2 + (י2 - י1)2). בנוסחה זו, חיסרו את שני קואורדינטות ה- x, חשבו את השורש הריבועי, חיסרו את שני קואורדינטות ה- y, חישבו את השורש הריבועי, הוסיפו את שתי התוצאות יחד וחשבו את השורש הריבועי כדי למצוא את המרחק בין שתי הנקודות. נוסחה זו חלה על מישור דו ממדי - למשל על גרף x/y רגיל.
- נוסחת המרחק הדו-ממדית עושה שימוש במשפט פיתגורס, הקובע כי אורך ההיפוטנוזה של המשולש מימין שווה לשורש הריבוע של הריבוע משני הצדדים האחרים.
- לדוגמה, נניח שיש לנו שתי נקודות במישור x -y: (3, -10) ו- (11, 7), המייצגות את מרכז המעגל ונקודה במעגל, בהתאמה. כדי למצוא את מרחק הקו הישר בין שתי נקודות, נוכל לחשב אותו בצורה הבאה:
- s = ((x2 - איקס1)2 + (י2 - י1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
שלב 4. חשב את המרחק התלת מימדי על ידי שינוי נוסחת המרחק הדו ממדי
בשלוש ממדים, לנקודות יש קואורדינטות z בנוסף לקואורדינטות x ו- y. כדי לחשב את המרחק בין שתי נקודות בחלל תלת ממדי, השתמש s = ((x2 - איקס1)2 + (י2 - י1)2 + (z2 - ז1)2). זוהי צורה שונה של נוסחת המרחק הדו-ממדית שתוארה למעלה הכוללת את קואורדינטת z. חיסור שני קואורדינטות ה- z, חישוב השורש הריבועי והמשך שאר הנוסחה מבטיח שהתשובה הסופית שלך תייצג את המרחק התלת-ממדי בין שתי הנקודות.
- לדוגמה, נניח שאנחנו אסטרונאוטים שצפים בחלל בין שני אסטרואידים. אסטרואיד אחד נמצא כ- 8 ק"מ קדימה, 2 ק"מ מימין ו -5 ק"מ מתחתינו, בעוד השני כ -3 ק"מ מאחור, 3 ק"מ שמאלה ו -4 ק"מ מעלינו. אם אנו מייצגים את המיקומים של שני האסטרואידים עם הקואורדינטות (8, 2, -5) ו- (-3, -3, 4), נוכל לחשב את המרחק ביניהם בצורה הבאה:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 ק"מ
