3 דרכים לפתרון לוגריתמים

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-15 08:15

אולי נראה שקשה לפתור לוגריתמים, אבל פתרון בעיות לוגריתם הוא למעשה הרבה יותר פשוט ממה שאתה יכול לחשוב, כי לוגריתמים הם רק עוד דרך לכתוב משוואות מעריכיות. לאחר שכתבת את הלוגריתם בצורה מוכרת יותר, אתה אמור להיות מסוגל לפתור אותו כמו בכל משוואה מעריכית רגילה אחרת.

שלב

לפני שתתחיל: למד לבטא משוואות לוגריתמיות באופן אקספוננציאלי

שלב 1. להבין את ההגדרה של לוגריתם

לפני פתרון משוואות לוגריתמיות, עליך להבין שלוגריתמים הם בעצם דרך נוספת לכתוב משוואות מעריכיות. ההגדרה המדויקת היא כדלקמן:

• y = יומן_ב (איקס)

  אם ורק אם: ב^y = x

• זכור כי b הוא הבסיס ללוגריתם. ערך זה חייב לעמוד בתנאים הבאים:

  • ב> 0
  • b אינו שווה ל 1
• במשוואה, y הוא המעריך, ו- x הוא תוצאה של חישוב המעריך המבוקש בלוגריתם.

שלב 2. שקול את המשוואה הלוגריתמית

כאשר מסתכלים על משוואת הבעיה, חפשו את הבסיס (ב), את המעריך (y) ואת האקספוננציאלי (x).

• דוגמא:

  5 = יומן₄(1024)

  • ב = 4
  • y = 5
  • x = 1024

שלב 3. העבר את האקספוננציאל לצד אחד של המשוואה

העבר את ערך ההערכה שלך, x, לצד אחד של סימן השווים.

• לדוגמה:

  1024 = ?

שלב 4. הזן את ערך המעריך לבסיסו

יש להכפיל את ערך הבסיס שלך, b, באותו מספר ערכים המיוצג על ידי המעריך y.

• דוגמא:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  ניתן לכתוב משוואה זו גם כ: 4⁵

שלב 5. כתוב מחדש את התשובה הסופית שלך

כעת אתה אמור להיות מסוגל לשכתב את המשוואה הלוגריתמית כמשוואה מעריכית. בדוק שוב את התשובה שלך וודא ששני צידי המשוואה הם בעלי אותו ערך.

• דוגמא:

  4⁵ = 1024

שיטה 1 מתוך 3: מציאת הערך של X

שלב 1. פיצול המשוואה הלוגריתמית

בצע חישוב הפוך כדי להעביר את החלק במשוואה שאינו משוואה לוגריתמית לצד השני.

• דוגמא:

  עֵץ₃(x + 5) + 6 = 10

  • עֵץ₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • עֵץ₃(x + 5) = 4

שלב 2. שכתב את המשוואה הזו בצורה מעריכית

השתמש במה שאתה כבר יודע על הקשר בין משוואות לוגריתמיות ומשוואות מעריכיות, ושכתב אותן בצורה מעריכית פשוטה וקל יותר לפתרון.

• דוגמא:

  עֵץ₃(x + 5) = 4

  • השווה משוואה זו עם ההגדרה [ y = יומן_ב (איקס)], אז אתה יכול להסיק ש: y = 4; ב = 3; x = x + 5
  • כתוב מחדש את המשוואה כך: ב^y = x
  • 3⁴ = x + 5

שלב 3. מצא את הערך של x

לאחר שהפשטה בעיה זו למשוואה מעריכית בסיסית, אתה אמור להיות מסוגל לפתור אותה בדיוק כמו כל משוואה מעריכית אחרת.

• דוגמא:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

שלב 4. רשום את התשובה הסופית שלך

התשובה הסופית שאתה מקבל כאשר אתה מוצא את הערך של x היא התשובה לבעיית הלוגריתם המקורית שלך.

• דוגמא:

  x = 76

שיטה 2 מתוך 3: מציאת ערך X באמצעות כלל התוספת הלוגריתמית

שלב 1. הבנת הכללים להוספת לוגריתמים

המאפיין הראשון של הלוגריתמים המכונה "כלל התוספת הלוגריתמית" קובע כי הלוגריתם של מוצר שווה לסכום הלוגריתמים של שני הערכים. כתוב כלל זה בצורת משוואה:

• עֵץ_ב(m * n) = יומן_ב(מ) + יומן_ב(n)

• זכור כי הדברים הבאים חייבים לחול:

  • מ> 0
  • n> 0

שלב 2. פיצול הלוגריתם לצד אחד של המשוואה

השתמש בחישובים הפוכים כדי להזיז חלקים מהמשוואה כך שכל המשוואה הלוגריתמית תהיה בצד אחד, בעוד שאר המרכיבים נמצאים בצד השני.

• דוגמא:

  עֵץ₄(x + 6) = 2 - יומן₄(איקס)

  • עֵץ₄(x + 6) + יומן₄(x) = 2 - יומן₄(x) + יומן₄(איקס)
  • עֵץ₄(x + 6) + יומן₄(x) = 2

שלב 3. החל את כלל התוספת הלוגריתמית

אם יש שני לוגריתמים שמתווספים במשוואה, אתה יכול להשתמש בכלל הלוגריתם כדי לחבר אותם.

• דוגמא:

  עֵץ₄(x + 6) + יומן₄(x) = 2

  • עֵץ₄[(x + 6) * x] = 2
  • עֵץ₄(איקס² + 6x) = 2

שלב 4. שכתב את המשוואה הזו בצורה מעריכית

זכור כי לוגריתמים הם רק דרך נוספת לכתוב משוואות מעריכיות. השתמש בהגדרה הלוגריתמית לשכתב את המשוואה לצורה שניתן לפתור.

• דוגמא:

  עֵץ₄(איקס² + 6x) = 2

  • השווה משוואה זו עם ההגדרה [ y = יומן_ב (איקס)], אתה יכול להסיק כי: y = 2; ב = 4; x = x² + 6x
  • כתוב משוואה זו כך ש: ב^y = x
  • 4² = x² + 6x

שלב 5. מצא את הערך של x

לאחר שמשוואה זו הפכה למשוואה מעריכית רגילה, השתמש במה שאתה יודע על משוואות מעריכיות כדי למצוא את הערך של x כפי שהיית עושה בדרך כלל.

• דוגמא:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

שלב 6. רשום את התשובות שלך

בשלב זה, אמורה להיות לך התשובה למשוואה. כתוב את תשובתך במרחב הניתן.

• דוגמא:

  x = 2

• שים לב שאינך יכול לתת תשובה שלילית ללוגריתם, כך שתוכל להיפטר מהתשובה x - 8.

שיטה 3 מתוך 3: מציאת ערך X באמצעות חוק החלוקה הלוגריתמית

שלב 1. הבן את כלל החלוקה הלוגריתמית

בהתבסס על המאפיין השני של הלוגריתמים, המכונה "כלל החלוקה הלוגריתמית", ניתן לכתוב את הלוגריתם של חלוקה מחדש על ידי הפחתת הלוגריתם של המכנה מהמונה. כתוב את המשוואה הזו כך:

• עֵץ_ב(m/n) = יומן_ב(מ) - יומן_ב(n)

• זכור כי הדברים הבאים חייבים לחול:

  • מ> 0
  • n> 0

שלב 2. פיצול המשוואה הלוגריתמית לצד אחד

לפני שתפתור משוואות לוגריתמיות, עליך להעביר את כל המשוואות הלוגריתמיות לצד אחד של סימן השווים. יש להעביר את החצי השני של המשוואה לצד השני. השתמש בחישובים הפוכים כדי לפתור את זה.

• דוגמא:

  עֵץ₃(x + 6) = 2 + יומן₃(x - 2)

  • עֵץ₃(x + 6) - יומן₃(x - 2) = 2 + יומן₃(x - 2) - יומן₃(x - 2)
  • עֵץ₃(x + 6) - יומן₃(x - 2) = 2

שלב 3. החל את כלל החלוקה הלוגריתמית

אם ישנם שני לוגריתמים במשוואה, ואחד מהם חייב להיות מופחת מהשני, אתה יכול וצריך להשתמש בכלל החלוקה כדי לחבר את שני הלוגריתמים הללו.

• דוגמא:

  עֵץ₃(x + 6) - יומן₃(x - 2) = 2

  עֵץ₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

שלב 4. כתוב משוואה זו בצורה מעריכית

לאחר שנותרה רק משוואה לוגריתמית אחת, השתמש בהגדרה הלוגריתמית כדי לכתוב אותה בצורה מעריכית, ביטול היומן.

• דוגמא:

  עֵץ₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • השווה משוואה זו עם ההגדרה [ y = יומן_ב (איקס)], אתה יכול להסיק כי: y = 2; ב = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • כתוב מחדש את המשוואה כך: ב^y = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

שלב 5. מצא את הערך של x

ברגע שהמשוואה היא מעריכית, אתה אמור להיות מסוגל למצוא את הערך של x כפי שהיית עושה בדרך כלל.

• דוגמא:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24 /8
  • x = 3

שלב 6. רשום את התשובה הסופית שלך

בדוק ובדוק שוב את שלבי החישוב שלך. ברגע שאתה בטוח שהתשובה נכונה, רשום אותה.

• דוגמא:

  x = 3