כיצד לחשב שורשי ריבוע באופן ידני (עם תמונות)

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-15 08:15

בימים שלפני המצאת המחשבונים נאלצו הסטודנטים והפרופסורים לחשב שורשים רבועים באופן ידני. מספר דרכים שונות פותחו להתגבר על תהליך קשה זה. חלק מהדרכים נותנות הערכה גסה ואחרות נותנות ערך מדויק. כדי ללמוד כיצד למצוא את השורש הריבועי של מספר באמצעות פעולות פשוטות בלבד, עיין בשלב 1 להלן כדי להתחיל.

שלב

שיטה 1 מתוך 2: שימוש בפקטור פקטוריזציה

שלב 1. חלק את המספר שלך לגורמים מרובעים מושלמים

שיטה זו משתמשת בגורמי המספר כדי למצוא את השורש הריבועי של המספר (בהתאם למספר, התשובה יכולה להיות מספר מדויק או קירוב קרוב). הגורמים של מספר הם קבוצה של מספרים אחרים שכאשר מכפילים אותם מייצרים מספר זה. לדוגמה, אפשר לומר שהגורמים של 8 הם 2 ו -4 כי 2 × 4 = 8. בינתיים ריבועים מושלמים הם מספרים שלמים שהם תוצר של מספרים שלמים אחרים. לדוגמה, 25, 36 ו- 49 הם ריבועים מושלמים מכיוון שהם 5. בהתאמה², 6², ו- 7². כפי שאולי ניחשתם, גורמים מרובעים מושלמים הם גורמים שהם גם ריבועים מושלמים. כדי להתחיל למצוא את השורש הריבועי באמצעות פקטוריזציה ראשונית, נסה תחילה לפשט את המספר שלך לגורמי הריבוע המושלמים שלו.

בואו נשתמש בדוגמא. אנו רוצים למצוא את השורש הריבועי של 400 באופן ידני. כדי להתחיל, נחלק את המספר לגורמים המרובעים המושלמים שלו. מכיוון ש- 400 הוא כפולה של 100, אנו יודעים כי 400 מתחלק ב -25 - ריבוע מושלם. עם חלוקה מהירה של הצללים, אנו מוצאים כי 400 מחולקים ל -25 שווים 16. במקרה, 16 היא גם ריבוע מושלם. לפיכך, הגורמים המרובעים המושלמים של 400 הם 25 ו -16 כי 25 × 16 = 400.
אנחנו יכולים לכתוב את זה כ: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

שלב 2. מצא את שורש הריבוע של הגורמים המרובעים המושלמים שלך

מאפיין הכפל של השורש הריבועי קובע כי עבור כל מספר a ו- b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). בגלל המאפיין הזה, כעת, אנו יכולים כעת למצוא את השורש הריבועי של גורמי הריבוע המושלמים שלנו ולהכפילם כדי לקבל את התשובה שלנו.

בדוגמה שלנו, נמצא את השורשים המרובעים של 25 ו 16. ראו להלן:
- שורש (25 × 16)
- שורש (25) × שורש (16)
- 5 × 4 =
  
  שלב 20.

שלב 3. אם לא ניתן לחשב את המספר בצורה מושלמת, פשט את התשובה לצורתה הפשוטה ביותר

בחיים האמיתיים, לעתים קרובות המספרים שאתה צריך למצוא את השורש הריבועי אינם מספרים שלמים נעימים עם גורמים ריבועיים מושלמים כמו 400. במקרים אלה, יתכן שלא נוכל למצוא את התשובה הנכונה. כמספר שלם. עם זאת, על ידי מציאת גורמים מרובעים מושלמים ככל שתוכל למצוא, תוכל למצוא את התשובה בצורה של שורש ריבועי שהוא קטן יותר, פשוט וקל יותר לחישוב. לשם כך, הפחת את מספרך לשילוב של גורמים מרובעים מושלמים וגורמים מרובעים לא מושלמים, ולאחר מכן פשט.

נשתמש כדוגמה בשורש הריבועי של 147. 147 אינו תוצר של שני ריבועים מושלמים, ולכן איננו יכולים לקבל את ערך המספר השלם המדויק כמפורט לעיל. עם זאת, 147 הוא תוצר של ריבוע מושלם אחד ומספר אחר - 49 ו -3. אנו יכולים להשתמש במידע זה כדי לכתוב את התשובה שלנו בצורה הפשוטה ביותר שלה כדלקמן:
- שורש (147)
- = שורש (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × שורש (3)

שלב 4. אם יש צורך, אומד

כאשר השורש הריבועי בצורתו הפשוטה ביותר, בדרך כלל קל למדי לקבל הערכה גסה של התשובה למספר על ידי ניחוש הערך של השורש המרובע הנותר והכפלתו. אחת הדרכים להנחות את הניחוש היא לחפש ריבועים מושלמים שגדולים מהמספר בשורש הריבועי שלך ופחות. תבחין כי הערך העשרוני של המספר בשורש הריבועי שלך הוא בין שני המספרים, כך שתוכל לנחש את הערך בין שני המספרים.

נחזור לדוגמא שלנו. כי 2² = 4 ו -1² = 1, אנו יודעים כי שורש (3) הוא בין 1 ל -2 - קרוב לוודאי שקרוב ל -2 מ -1. אנו מעריכים 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. אם נבדוק את התשובה שלנו במחשבון, נוכל לראות שהתשובה שלנו די קרובה לתשובה האמיתית שהיא 12, 13.

זה חל גם על מספרים גדולים יותר. לדוגמה, ניתן לקרב את שורש (35) בין 5 ל -6 (אולי קרוב יותר ל -6). 5² = 25 ו -6² = 36. 35 הוא בין 25 ל- 36, ולכן השורש הריבועי חייב להיות בין 5 ל- 6. מכיוון ש- 35 הוא רק אחד פחות מ- 36, אנו יכולים לומר בביטחון כי השורש הריבועי הוא מעט פחות מ- 6. בדיקה באמצעות מחשבון תן לנו את התשובה היא בערך 5, 92 - אנחנו צודקים.

שלב 5. לחלופין, צמצם את המספר שלך לגורמים הפחות שכיחים שלו כצעד הראשון שלך

מציאת הגורמים של ריבועים מושלמים אינה הכרחית אם תוכל לקבוע בקלות את הגורמים הראשוניים של מספר (גורמים שהם גם מספרים ראשוניים). כתוב את המספר שלך במונחים של הגורמים הפחות שכיחים שלו. לאחר מכן, מצא את זוגות המספרים הראשוניים התואמים את הגורמים שלך. כאשר אתה מוצא שני גורמים ראשוניים זהים, הסר את שני המספרים הללו מהשורש הריבועי והנח אחד מהמספרים הללו מחוץ לשורש הריבועי.

לדוגמה, מצא את השורש הריבועי של 45 בשיטה זו. אנו יודעים כי 45 × 5 ואנו יודעים שתחת 9 = 3 × 3. לפיכך, אנו יכולים לכתוב את השורש הריבועי שלנו במונחים של הגורמים הבאים: Sqrt (3 × 3 × 5). פשוט הסר את שני השלושים ושם אחד מחוץ לשורש הריבועי כדי לפשט את השורש הריבועי לצורתו הפשוטה ביותר: (3) שורש (5).

מכאן יהיה לנו קל להעריך.
כבעיה לדוגמא אחרונה, ננסה למצוא את השורש הריבועי של 88:
- שורש (88)
- = שורש (2 × 44)
- = שורש (2 × 4 × 11)
- = שורש (2 × 2 × 2 × 11). יש לנו כ -2 בשורש הריבועי שלנו. מכיוון ש -2 הוא מספר ראשוני, נוכל להסיר זוג 2 ולשים אחד מהם מחוץ לשורש הריבועי.
- = השורש הריבועי בצורתו הפשוטה ביותר הוא (2) Sqrt (2 × 11) או (2) שורש (2) שורש (11).
  
  מכאן נוכל להעריך את Sqrt (2) ו- Sqrt (11) ולמצוא את התשובה המשוערת כרצוננו.

שיטה 2 מתוך 2: מציאת השורש המרובע באופן ידני

שימוש באלגוריתם החטיבה הארוכה

שלב 1. הפרד את הספרות של המספר שלך לזוגות

שיטה זו משתמשת בתהליך הדומה לחלוקה ארוכה כדי למצוא את הספרה המדויקת של השורש הריבועי. למרות שזה לא חובה, יתכן ויהיה לך קל יותר לבצע תהליך זה אם תארגן ויזואלית את מקום העבודה שלך ואת המספרים שלך לחלקים נוחים לעבודה. ראשית, צייר קו אנכי המחלק את אזור העבודה שלך לשני חלקים, ולאחר מכן צייר קו אופקי קצר יותר בצד ימין למעלה כדי לחלק את החלק הימני לחלק עליון קטן יותר ולקטע תחתון גדול יותר. לאחר מכן, הפרד את הספרות שלך לזוגות, החל מהנקודה העשרונית. לדוגמה, בעקבות כלל זה, 79,520,789,182, 47897 הופך להיות "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". כתוב את המספר שלך בצד שמאל למעלה.

לדוגמה, ננסה לחשב את השורש הריבועי של 780, 14. צייר שני קווים כדי לחלק את מקום העבודה שלך כמפורט לעיל וכתוב "7 80. 14" בצד שמאל למעלה. זה לא משנה אם המספר השמאלי ביותר הוא מספר בודד, ולא זוג מספרים. אתה תכתוב את התשובה שלך (שורש ריבועי 780, 14) בפינה השמאלית העליונה

שלב 2. מצא את המספר השלם הגדול ביותר שערכו המרובע קטן או שווה למספר (או צמד המספרים) בצד שמאל

התחל בקצה השמאלי של המספר שלך, הן זוגות מספרים והן מספרים בודדים. מצא את הריבוע המושלם הגדול ביותר שהוא פחות או שווה למספר זה, ואז מצא את השורש הריבועי של הריבוע המושלם הזה. מספר זה הוא n. כתוב n בפינה הימנית העליונה וכתוב את הריבוע של n ברבע הימני התחתון.

בדוגמה שלנו, השמאל הקיצוני הוא המספר 7. מכיוון שאנו יודעים כי 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, אנו יכולים לומר כי n = 2 כי 2 הוא המספר השלם הגדול ביותר שערכו המרובע פחות או שווה ל- 7. כתוב 2 ברבע הימני העליון. זו הספרה הראשונה של התשובה שלנו. כתוב 4 (ערך ריבוע של 2) ברבע הימני התחתון. מספר זה חשוב לשלב הבא.

שלב 3. הפחת את המספר שחישבת זה עתה מהזוג השמאלי ביותר

בדומה לחלוקה ארוכה, השלב הבא הוא להפחית את ערך הריבוע שזה עתה מצאנו מהחלק שניתחנו זה עתה. כתוב מספר זה מתחת לחלק הראשון וחסר אותו, כתוב את תשובתך מתחתיו.

בדוגמה שלנו, נכתוב 4 מתחת ל -7 ואז נחסר אותו. חיסור זה מניב תשובה

שלב 3..

שלב 4. זרוק את הזוג הבא

הזז את החלק הבא של המספר שעבורו אתה מחפש את השורש הריבועי, לצד ערך החיסור שמצאת זה עתה. לאחר מכן, הכפל את המספר ברבע הימני העליון בשניים וכתוב את התשובה ברבע הימני התחתון. ליד המספר שזה עתה רשמת, השאר מקום עבור בעיית הכפל שתעשה בשלב הבא על ידי כתיבת '"_ × _ ="'.

בדוגמה שלנו, הצמד הבא של המספרים שלנו הוא "80". כתוב "80" ליד 3 ברבע השמאלי. לאחר מכן, הכפל את המספר בפינה השמאלית העליונה בשניים. מספר זה הוא 2, אז 2 × 2 = 4. כתוב "'4" ברביע הימני התחתון, ואחריו _×_=.

שלב 5. מלא את החסר ברבע הימני

עליך למלא את כל החסר שכתבת כרגע ברבע הנכון עם אותו מספר שלם. המספר השלם הזה חייב להיות המספר השלם הגדול ביותר שהופך את המוצר ברבע הימני למספר קטן או שווה למספר השמאלי כיום.

בדוגמה שלנו, אנו ממלאים את החסר עם 8, וכתוצאה מכך 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. ערך זה גדול מ- 384. לפיכך, 8 גדול מדי, אך 7 עשוי לעבוד. כתוב 7 בחסר ופתור: 4 (7) × 7 = 329. 7 הוא מספר נכון כי 329 הוא פחות מ -380. כתוב 7 ברבע הימני העליון. זו הספרה השנייה בשורש הריבועי של 780, 14

שלב 6. הפחת את המספר שרק חישבת מהמספר כעת בצד שמאל

המשך בשרשרת החיסור בשיטת החלוקה הארוכה. קח את תוצר הבעיה ברבע הימני וחסר אותו מהמספר שנמצא כעת משמאל, תוך כתיבת תשובותיך למטה.

בדוגמה שלנו, נגרע 329 מ -380, מה שנותן את התוצאה 51.

שלב 7. חזור על שלב 4

גזרו את החלק הבא של המספר שעבורו אתם מחפשים את השורש הריבועי. כאשר אתה מגיע לנקודה העשרונית במספרך, כתוב את הנקודה העשרונית בתשובתך ברבע הימני העליון. לאחר מכן, הכפל את המספר בפינה השמאלית העליונה ב -2 וכתוב אותו לצד בעיית הכפל הריק ("_ × _") כמפורט לעיל.

בדוגמה שלנו, מכיוון שאנו עוסקים כעת בנקודה העשרונית ב- 780, 14, כתוב את הנקודה העשרונית אחרי התשובה הנוכחית שלנו בצד ימין למעלה. לאחר מכן, הורד את הזוג הבא (14) ברבע השמאלי למטה. פעמיים המספר בפינה הימנית העליונה (27) שווה 54, אז כתוב "54 _ × _ =" ברבע הימני התחתון

שלב 8. חזור על שלבים 5 ו -6

מצא את הספרה הגדולה ביותר למילוי החסר מימין, שנותנת תשובה פחותה או שווה למספר הנוכחי בצד שמאל. לאחר מכן, פתר את הבעיה.

בדוגמה שלנו, 549 × 9 = 4941, שזה פחות או שווה למספר משמאל (5114). 549 × 10 = 5490 גדול מדי, אז 9 היא התשובה שלך. כתוב 9 בתור הספרה הבאה ברבע הימני העליון וחסר את המוצר מהמספר משמאל: 5114 מינוס 4941 שווה 173

שלב 9. להמשך ספירת הספרות, הורד את זוג האפסים בצד שמאל וחזור על שלבים 4, 5 ו -6

ליתר דיוק, המשך בתהליך זה כדי למצוא את מאות, אלפי ועוד המקומות בתשובתך. המשך להשתמש במחזור זה עד שתמצא את המקום העשרוני שאתה רוצה.

הבנת התהליך

שלב 1. דמיינו את המספר שחישבתם את השורש הריבועי כשטח S של ריבוע

מכיוון ששטח הריבוע הוא P² כאשר P הוא האורך של אחד הצדדים, ואז על ידי ניסיון למצוא את השורש הריבועי של המספר שלך, אתה בעצם מנסה לחשב את האורך P של צד זה של הריבוע.

שלב 2. קבע את משתני האותיות עבור כל ספרה של התשובה שלך

הגדר את המשתנה A כספרה הראשונה של P (השורש הריבועי שאנו מנסים לחשב). B תהיה הספרה השנייה, C הספרה השלישית וכן הלאה.

שלב 3. קבע את משתני האותיות עבור כל חלק במספר ההתחלתי שלך

הגדר משתנה S_א עבור זוג הספרות הראשון ב- S (הערך ההתחלתי שלך), S_ב לזוג הספרות השני וכו '.

שלב 4. הבין את הקשר בין שיטה זו לחלוקה ארוכה

שיטה זו למציאת השורש הריבועי היא בעצם בעיית חלוקה ארוכה המחלקת את המספר הראשוני שלך בשורש הריבועי, ונותנת לך את השורש הריבועי של התשובה. בדיוק כמו בבעיית החלוקה הארוכה, אתה מתעניין רק בספרה הבאה בכל שלב. בדרך זו, אתה מתעניין רק בשתי הספרות הבאות בכל שלב (שהיא הספרה הבאה בכל שלב עבור השורש הריבועי).

שלב 5. מצא את המספר הגדול ביותר שערכו המרובע פחות או שווה ל- S_א.

הספרה הראשונה של A בתשובתנו היא המספר השלם הגדול ביותר שערכו המרובע אינו עולה על S_א (כלומר A כך ש- A² Sa <(A+1) ²). בדוגמה שלנו, ס_א = 7, ו- 2² 7 <3², אז A = 2.

שים לב, למשל, אם רצית לחלק את 88962 ב -7 באמצעות חלוקה ארוכה, הצעדים הראשונים זהים למדי: תראה את הספרה הראשונה של 88962 (שהיא 8) ואתה מחפש את הספרה הגדולה ביותר שכאשר כפול 7 הוא פחות או שווה ל 8 ביסודו של דבר, אתה מחפש d כך ש 7 × d 8 <7 × (d+1). במקרה זה, d יהיה שווה ל -1

שלב 6. תארו לעצמכם את ערך הריבוע שאליו אתם עומדים להתחיל לעבוד

התשובה שלך, השורש הריבועי של המספר ההתחלתי שלך, היא P, המתאר את אורך הריבוע עם שטח S (המספר ההתחלתי שלך). הציונים שלך עבור A, B, C מייצגים את הספרות בערך P. דרך נוספת לומר זאת היא 10A + B = P (לתשובה דו ספרתית), 100A + 10B + C = P (עבור שלוש- תשובה ספרתית) וכו '.

בדוגמה שלנו, (10A+B) ² = P² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². זכור כי 10A+B מייצג את התשובה שלנו, P, כאשר B במיקום האחד ו- A בעמדת העשרות. לדוגמה, עם A = 1 ו- B = 2, אז 10A+B שווה ל- 12. (10A+B) ² הוא השטח הכולל של הריבוע, בעוד 100A² הוא שטח הכיכר הגדולה ביותר בו, B² הוא שטח הכיכר הקטנה ביותר בה, ו 10A × B הוא השטח של שני המלבנים הנותרים. על ידי ביצוע תהליך ארוך ומפותל זה, אנו מוצאים את השטח הכולל של ריבוע על ידי חיבור שטחי הריבועים והמלבנים שבתוכם.

שלב 7. הפחת את A² מ- S_א.

הפחת זוג ספרות אחד (S_ב) של S. ערך של S_א ס_ב קרוב לשטח הכולל של הריבוע, בו השתמשת זה עתה כדי להפחית את הריבוע הפנימי הגדול יותר. אפשר לחשוב על השאר כמספר N1, שקיבלנו בשלב 4 (N1 = 380 בדוגמה שלנו). N1 שווה 2 ופעמים: 10A × B + B² (שטח שני המלבנים בתוספת שטח הריבוע הקטן יותר).

שלב 8. מצא את N1 = 2 × 10A × B + B², שנכתב גם כ- N1 = (2 × 10A + B) × B

בדוגמה שלנו, אתה כבר מכיר את N1 (380) ו- A (2), ולכן עליך למצוא ש- B. B הוא ככל הנראה לא מספר שלם, כך שבאמת עליך למצוא את המספר השלם הגדול ביותר B כך (2 × 10A + B) × B N1. אז יש לך: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

שלב 9. סיים

כדי לפתור משוואה זו, הכפל A ב- 2, העבר את התוצאה למיקום העשרות (המקביל להכפלה ב- 10), הכנס את B למיקום האחד, והכפל את המספר ב- B. במילים אחרות, פתר (2 × 10A + B) × B. זה בדיוק מה שאתה עושה כשאתה כותב "N_ × _ =" (עם N = 2 × A) ברבע הימני התחתון בשלב 4. בשלב 5, אתה מוצא את המספר השלם B הגדול ביותר המתאים ל- המספר שמתחתיו כך (2 × 10A + B) × B N1.

שלב 10. הפחת את השטח (2 × 10A + B) × B מהשטח הכולל

חיסור זה גורם לאזור S- (10A+B) ² שלא חושב (ואשר ישמש אותו לחישוב הספרה הבאה באותו אופן).

שלב 11. לחישוב הספרה הבאה, C, חזור על התהליך

הורד את הזוג הבא (S_ג) של S כדי לקבל N2 משמאל, ומצא את C הגדול ביותר כך שיהיה לך (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (שווה ערך לכתיבה כפולה מהמספר הדו ספרתי "AB" ואחריו "_ × _ =". מצא את הספרה ההתאמה הגדולה ביותר בחסר, שנותנת תשובה פחותה או שווה ל- N2, כמו בעבר.

טיפים

הזזת נקודה עשרונית בכפולה של שתי ספרות במספר (כפולה של 100), פירושה הזזת נקודה עשרונית בכפולה של ספרה אחת בשורש הריבועי שלה (כפולה של 10).
בדוגמה זו, 1.73 יכול להיחשב כ"שארית ": 780, 14 = 27, 9² + 1.73.
ניתן להשתמש בשיטה זו עבור כל בסיס, לא רק בסיס 10 (עשרוני).
אתה יכול להשתמש בחשבון שנוח לך יותר. יש אנשים שכותבים את התוצאה מעל למספר ההתחלתי.
דרך חלופית לשימוש בשברים חוזרים היא לעקוב אחר נוסחה זו: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). לדוגמה, לחישוב השורש הריבועי של 780, 14, המספר השלם שערכו בריבוע הכי קרוב ל 780, 14 הוא 28, כך z = 780, 14, x = 28 ו- y = -3, 86. הזנת ערכים וחישוב אומדנים רק עבור x + y/(2x) הוא מניב (במילים הפשוטות ביותר) 78207/20800 או כ -27, 931 (1); הקדנציה הבאה, 4374188/156607 או כ -27, 930986 (5). כל מונח מוסיף כ -3 מקומות עשרוניים לדיוק המספר הקודם של המקומות העשרוניים.