כיצד להתחשב עם קיבוץ (עם תמונות)

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-15 08:15

קיבוץ היא טכניקה מיוחדת המשמשת לפקטור משוואות פולינומיות. אתה יכול להשתמש בו עם משוואות ריבועיות ופולינומים בעלי ארבעה מונחים. שתי השיטות זהות כמעט אך מעט שונות.

שלב

שיטה 1 מתוך 2: משוואה ריבועית

שלב 1. תסתכל על המשוואה

אם אתה מתכנן להשתמש בשיטה זו, המשוואה חייבת לפעול לפי הצורה הבסיסית: ax² + bx + c

• בדרך כלל משתמשים בתהליך זה כאשר המקדם המוביל (מונח) הוא מספר שאינו "1", אך ניתן להשתמש בו גם למשוואות ריבועיות בהן a = 1.
• דוגמא: 2x² + 9x + 10

שלב 2. מצא את המוצר העיקרי של

הכפל את המונחים a ו- c. התוצר של שני מונחים אלה נקרא המוצר העיקרי.

• דוגמא: 2x² + 9x + 10

  • a = 2; c = 10
  • a * c = 2 * 10 = 20

שלב 3. הפרד את המוצר לזוגות הגורמים שלו

רשום את הגורמים של המוצר העיקרי שלך על ידי הפרדתם לזוגות של מספרים שלמים (הזוגות הדרושים כדי לקבל את המוצר העיקרי).

• דוגמה: הגורמים של 20 הם: 1, 2, 4, 5, 10, 20

  כתוב בזוגות של גורמים: (1, 20), (2, 10), (4, 5)

שלב 4. מצא זוג גורמים עם סכום שווה ל- b

התבונן בזוגות הגורמים וקבע את הצמד שייתן את המונח b - המונח החציוני ומקדם x - כאשר הוא מתווסף יחדיו.

• אם המוצר העיקרי שלך שלילי, יהיה עליך למצוא זוג גורמים השווים למונח b כאשר יופחתו זה מזה.

• דוגמא: 2x² + 9x + 10

  • ב = 9
  • 1 + 20 = 21; זה לא הזוג הנכון
  • 2 + 10 = 12; זה לא הזוג הנכון
  • 4 + 5 = 9; זֶה הוא שותף אמיתי

שלב 5. לחלק את המונח האמצעי לשני גורמים

כתוב מחדש את המונח האמצעי על ידי הפרדתו לזוגות הגורמים שחיפשו בעבר. הקפד להזין את הסימן הנכון (פלוס או מינוס).

• שים לב כי סדר מונחי האמצע אינו חשוב לבעיה זו. לא משנה סדר התנאים שאתה כותב, התוצאה תהיה זהה.
• דוגמא: 2x² + 9x + 10 = 2x² + 5x + 4x + 10

שלב 6. קבץ את השבטים ליצירת זוגות

חברו את שני המונחים הראשונים לזוג אחד ואת שני המונחים השניים לזוג אחד.

דוגמא: 2x² + 5x + 4x + 10 = (2x² + 5x) + (4x + 10)

שלב 7. פקטור כל זוג

מצא את הגורמים השכיחים של הזוג והגדר אותם. כתוב מחדש את המשוואה בצורה נכונה.

דוגמה: x (2x + 5) + 2 (2x + 5)

שלב 8. גרור את הסוגריים השווים

בין שני החצאים צריכים להיות אותם סוגריים בינומיים. פקט את סוגריים אלה החוצה והכנס את שאר המונחים בתוך הסוגריים האחרים.

דוגמה: (2x + 5) (x + 2)

שלב 9. רשום את התשובות שלך

עכשיו יש לך את התשובה שלך.

• דוגמא: 2x² + 9x + 10 = (2x + 5) (x + 2)

  התשובה הסופית היא: (2x + 5) (x + 2)

דוגמאות נוספות

שלב 1. גורם:

4x² - 3x - 10

• a * c = 4 * -10 = -40
• גורמים של 40: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
• צמד הגורמים הנכון: (5, 8); 5 - 8 = -3
• 4x² - 8x + 5x - 10
• (4x² - 8x) + (5x - 10)
• 4x (x - 2) + 5 (x - 2)
• (x - 2) (4x + 5)

שלב 2. גורם:

8x² + 2x - 3

• a * c = 8 * -3 = -24
• גורם 24: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
• צמד הגורמים הנכון: (4, 6); 6 - 4 = 2
• 8x² + 6x - 4x - 3
• (8x² + 6x) - (4x + 3)
• 2x (4x + 3) - 1 (4x + 3)
• (4x + 3) (2x - 1)

שיטה 2 מתוך 2: פולינומים עם ארבעה מונחים

שלב 1. תסתכל על המשוואה

המשוואה צריכה להיות בעלת ארבעה מונחים נפרדים. עם זאת, צורתם של ארבעת השבטים יכולה להשתנות.

• בדרך כלל תשתמש בשיטה זו אם תראה משוואה פולינומית שנראית כך: גרזן³ + bx² + cx + d

• המשוואה יכולה גם להיראות כך:

  • axy + by + cx + d
  • גַרזֶן² + bx + cxy + dy
  • גַרזֶן⁴ + bx³ + cx² + dx
  • או כמעט אותה וריאציה.
• דוגמא: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x

שלב 2. גורמים את הגורם המשותף הגדול ביותר (GCF)

קבע אם לארבעת המונחים יש משהו משותף. הגורם המשותף הגדול ביותר מבין ארבעת המונחים, אם אחד מהגורמים נפוצים, חייב להיחשב מחוץ למשוואה.

• אם הדבר היחיד שמשותף לארבעת המונחים הוא המספר "1", אז למונח זה אין GCF ולא ניתן לחשב דבר בשלב זה.
• כאשר אתה מביא בחשבון את ה- GCF, וודא שאתה ממשיך לכתוב את ה- GCF בחזית המשוואה שלך בזמן שאתה עובד. יש לכלול את ה- GCF המיושן הזה כחלק מהתשובה הסופית שלך כדי שהתשובה שלך תהיה מדויקת.

• דוגמא: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x

  • כל מונח שווה ל- 2x, כך שניתן לכתוב מחדש את הבעיה כך:
  • 2x (2x³ + 6x² +3x+9)

שלב 3. צור קבוצות קטנות יותר בבעיה

קיבוץ שתי המונחים הראשונים ושני המונחים השניים.

• אם לפני המונח הראשון של הקבוצה השנייה יש סימן מינוס לפניו, עליך לשים את סימן המינוס מול הסוגר השני. עליך לשנות את סימן המונח השני בקבוצה השנייה כדי להתאים אותו.
• דוגמה: 2x (2x³ + 6x² + 3x + 9) = 2x [(2x³ + 6x²) + (3x + 9)]

שלב 4. גורם את ה- GCF מכל בינומיום

זהה את ה- GCF בכל זוג בינומי וחשב את ה- GCF להיות מחוץ לזוג. כתוב מחדש את המשוואה הזו בצורה נכונה.

• בשלב זה, ייתכן שתתמודד עם הבחירה בין חישוב מספרים חיוביים או שליליים עבור הקבוצה השנייה. תסתכל על הסימנים לפני המונח השני והרביעי.

  • כאשר שני הסימנים זהים (שניהם חיוביים או שניהם שליליים), סמן מספר חיובי.
  • כאשר שני הסימנים שונים (אחד שלילי ואחד חיובי), יש לחשב מספר שלילי.
• דוגמה: 2x [(2x³ + 6x²) + (3x + 9)] = 2x²[2x²(x + 3) + 3 (x + 3)]

שלב 5. הוצא את אותו בינומי

הזוגות הבינומיים בשני הסוגריים חייבים להיות זהים. גורמים זוג זה מהמשוואה, ואז מקבצים את שאר המונחים לסוגריים אחרים.

• אם הבינומים בסוגריים אינם תואמים, בדוק שוב את עבודתך או נסה לסדר מחדש את המונחים ולרכז את המשוואה מחדש.
• כל הסוגריים חייבים להיות זהים. אם הם לא זהים, הבעיה לא תיחשב על ידי קיבוץ או שיטות אחרות גם אם תנסה שיטה כלשהי.
• דוגמא: 2x²[2x²(x + 3) + 3 (x + 3)] = 2x²[(x + 3) (2x² + 3)]

שלב 6. רשום את התשובות שלך

התשובה תהיה לך בשלב זה.

• דוגמא: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x = 2x²(x + 3) (2x² + 3)

  התשובה הסופית היא: 2x²(x + 3) (2x² + 3)

דוגמאות נוספות

שלב 1. גורם:

6x² + 2xy - 24x - 8y

• 2 [3x² +xy - 12x - 4y]
• 2 [(3x² + xy) - (12x + 4y)]
• 2 [x (3x + y) - 4 (3x + y)]
• 2 [(3x + y) (x - 4)]
• 2 (3x + y) (x - 4)

שלב 2. גורם:

איקס³ - 2x² + 5x - 10

• (איקס³ - 2x²) + (5x - 10)
• איקס²(x - 2) + 5 (x - 2)
• (x - 2) (x² + 5)