כיצד לפשט משוואות מתמטיות: 13 שלבים

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-15 08:15

סטודנטים למתמטיקה מתבקשים לעתים קרובות לרשום את התשובות שלהם בצורה הפשוטה ביותר - במילים אחרות, לרשום את התשובות בצורה אלגנטית ככל האפשר. למרות שמשוואות ארוכות, נוקשות וקצרות, כמו גם אלגנטיות, הן מבחינה טכנית אותו דבר, אך לעתים קרובות בעיה במתמטיקה אינה נחשבת שלמה אם התשובה הסופית לא מצטמצמת לצורתה הפשוטה ביותר. כמו כן, התשובה בצורתה הפשוטה היא כמעט תמיד המשוואה הקלה ביותר לעבודה. מסיבה זו, למידת פישוט המשוואות היא מיומנות חשובה עבור מתמטיקאים.

שלב

שיטה 1 מתוך 2: שימוש ברצף פעולה

שלב 1. דע את סדר הפעולות

כאשר מפשטים ביטויים מתמטיים, לא ניתן פשוט לעבוד משמאל לימין, להכפיל, להוסיף, להפחית וכן הלאה לפי סדר משמאל לימין. חלק מהפעולות המתמטיות חייבות להיות עדיפות על פני אחרות ולהתבצע קודם כל. למעשה, שימוש בסדר הפעולות הלא נכון יכול לתת את התשובה הלא נכונה. סדר הפעולות הוא: החלק בסוגריים, המעריך, הכפל, החלוקה, החיבור, ולבסוף, החיסור. ראשי תיבות שבהן תוכל לזכור הוא כי אמא לא טובה, רעה ומסכנה.

שים לב כי למרות שידע בסיסי בסדר הפעולות יכול לפשט את המשוואות הבסיסיות ביותר, נדרשות טכניקות מיוחדות לפשט משוואות משתנות רבות, כולל כמעט כל הפולינומים. עיין בשיטה השנייה הבאה למידע נוסף

שלב 2. התחל בהשלמת כל הקטעים בסוגריים

במתמטיקה סוגריים מצביעים על כך שיש לחשב את החלק הפנימי בנפרד מהביטוי שנמצא מחוץ לסוגריים. לא משנה מה הפעולות בתוך הסוגריים, הקפד להשלים את החלק בתוך הסוגריים תחילה כאשר אתה מנסה לפשט משוואה. לדוגמה, בסוגריים, עליך להכפיל לפני הוספה, חיסור וכדומה.

לדוגמה, בואו ננסה לפשט את המשוואה 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). במשוואה זו, עלינו לפתור את החלק שבתוך הסוגריים, כלומר 5 + 2 ו- 3 + 4/2. 5 + 2 =

שלב 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

שלב 5

החלק בסוגר השני פשט ל -5 מכיוון שעל פי סדר הפעולות, אנו מחלקים 4/2 תחילה בסוגריים. אם רק עובדים משמאל לימין, נוסיף תחילה 3 ו -4, ואז נחלק ב -2 ונתן את התשובה הלא נכונה 7/2
שימו לב - אם יש סוגריים מרובים בסוגריים, השלימו את הקטע בסוגר הפנימי ביותר, ואז את הפנימי השני וכו '.

שלב 3. פתור את המעריך

לאחר השלמת הסוגריים, לאחר מכן, פתר את מעריך המשוואה שלך. קל לזכור זאת מכיוון שבמעריכים, מספר הבסיס והעוצמה לכוח נמצאים זה ליד זה. מצא את התשובה לכל חלק במעריך, ולאחר מכן חבר את התשובה שלך למשוואה כדי להחליף את החלק המעריך.

לאחר השלמת החלק בסוגריים, משוואת הדוגמא שלנו הופכת כעת ל- 2x + 4 (7) + 3² - 5. האקספוננציאל היחיד בדוגמה שלנו הוא 3², השווה ל- 9. הוסף תוצאה זו למשוואה שלך כדי להחליף 3² וכתוצאה מכך 2x + 4 (7) + 9 - 5.

שלב 4. פתור את בעיית הכפל במשוואה שלך

לאחר מכן, בצע את כל הכפל הדרוש במשוואה שלך. זכור כי ניתן לכתוב כפל בכמה אופנים. נקודת × או סמל הכוכבית היא דרך להראות כפל. עם זאת, מספר שליד סוגריים או משתנה (כגון 4 (x)) מייצג גם כפל.

יש שני חלקים לכפל בבעיה שלנו: 2x (2x הוא 2 × x) ו- 4 (7). אנחנו לא יודעים את הערך של x, אז פשוט משאירים אותו ב- 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

שלב 28.. אנו יכולים לשכתב את המשוואה שלנו להיות 2x + 28 + 9 - 5.

שלב 5. המשך לחטיבה

כאשר אתה מחפש בעיות חלוקה במשוואות שלך, זכור כי בדומה לריבוי, ניתן לכתוב את החלוקה במספר דרכים. אחד מאלה הוא הסמל, אך יש לזכור כי קווים ונקודות כמו בשברים (למשל 3/4) מעידים גם על חלוקה.

כי כבר עשינו את החלוקה (4/2) כשסיימנו את החלקים בסוגריים. לדוגמא שלנו אין עדיין בעיית חלוקה, אז נדלג על שלב זה. זה מראה נקודה חשובה - אינך צריך לבצע את כל הפעולות בעת פישוט ביטוי, רק הפעולות הכלולות בבעיה שלך

שלב 6. לאחר מכן, הוסף את מה שיש במשוואה שלך

אתה יכול לעבוד משמאל לימין, אבל קל יותר קודם כל להוסיף את המספרים שקל להוסיף. לדוגמה, בבעיה 49 + 29 + 51 + 71, קל יותר להוסיף 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100, ו 100 + 100 = 200, מאשר 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 ו- 129 + 71 = 200.

משוואת הדוגמאות שלנו פשטה חלקית ל- 2x + 28 + 9 - 5. כעת, עלינו להוסיף את המספרים שאנו יכולים להוסיף - הבה נבחן כל בעיית חיבור משמאל לימין. אנחנו לא יכולים להוסיף 2x ו- 28 כי אנחנו לא יודעים את הערך של x, אז פשוט נדלג על זה. 28 + 9 = 37, ניתן לכתוב מחדש כ -2 x + 37 - 5.

שלב 7. השלב האחרון ברצף הפעולות הוא חיסור

המשך בבעייתך על ידי פתרון בעיות הניתור הנותרות. ייתכן שתוכל לחשוב על חיסור כהוספת מספרים שליליים בשלב זה, או להשתמש באותם שלבים כמו לבעיית חיבור רגילה - בחירתך לא תשפיע על התשובה שלך.

בבעיה שלנו, 2x + 37 - 5, יש רק בעיית חיסור אחת. 37 - 5 =

שלב 32.

שלב 8. בדוק את המשוואה שלך

לאחר הפתרון באמצעות סדר הפעולות, יש לפשט את המשוואה שלך לצורתה הפשוטה ביותר. עם זאת, אם המשוואה שלך מכילה משתנה אחד או יותר, דע כי אין צורך לעבוד על המשתנים שלך. כדי לפשט משתנה, עליך למצוא את ערך המשתנה שלך או להשתמש בטכניקות מיוחדות כדי לפשט את הביטוי (ראה שלב להלן).

התשובה הסופית שלנו היא 2x + 32. איננו יכולים לפתור את התוספת הסופית הזו, אלא אם כן נדע את הערך של x, אך אם היינו יודעים את ערכה, משוואה זו תהיה קלה יותר לפתרון מאשר המשוואה המקורית הארוכה שלנו

שיטה 2 מתוך 2: פישוט משוואות מורכבות

שלב 1. הוסף את החלקים בעלי אותו משתנה

בעת פתרון משוואות משתנות, זכור כי ניתן להוסיף ולחסר חלקים בעלי אותו משתנה ומעריך (או אותו משתנה) כמו מספרים רגילים. חלק זה חייב להיות בעל אותו משתנה ומעריך. לדוגמה, ניתן להוסיף 7x ו- 5x, אך 7x ו- 5x² לא ניתן להוסיף.

כלל זה חל גם על כמה משתנים. לדוגמה, 2xy² ניתן לסכם ב- -3xy², אך לא ניתן לסכם אותו ב- -3x²y או -3y².
ראה משוואה x² + 3x + 6 - 8x. במשוואה זו, אנו יכולים להוסיף 3x ו- -8x מכיוון שיש להם אותו משתנה ומעריך. המשוואה הפשוטה הופכת ל- x² - 5x + 6.

שלב 2. פשט את המספרים השבריים על ידי חלוקת או החצאת הגורמים

ניתן לפשט שברים שיש להם רק מספרים (וללא משתנים) במונה ובמכנה בכמה אופנים. הראשון, ואולי הקל ביותר, הוא לחשוב על השבר כבעיית חלוקה ולחלק את המכנה במונה. כמו כן, ניתן לחצות כל גורם כפל המופיע במונה ובמכנה מכיוון שחלוקת שני הגורמים מביאה למספר 1.

לדוגמה, תסתכל על השבר 36/60. אם יש לנו מחשבון, נוכל לחלק אותו כדי לקבל את התשובה 0, 6. עם זאת, אם אין לנו מחשבון, עדיין נוכל לפשט אותו על ידי מחסום אותם גורמים. דרך נוספת לדמיין 36/60 היא (6 × 6)/(6 × 10). ניתן לכתוב שבר זה כ- 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, ולכן השבר שלנו הוא למעשה 1 × 6/10 = 6/10. עם זאת, עדיין לא סיימנו - הן ל -6 והן ל -10 יש אותו גורם, שהוא 2. חזרה על השיטה לעיל, התוצאה הופכת 3/5.

שלב 3. על החלק המשתנה, חצו את כל הגורמים של המשתנה

למשוואות משתנות בצורת שברים יש דרך ייחודית לפשט. בדומה לשברים רגילים, שברים משתנים מאפשרים לך לחסל גורמים המשותפים למונה ולמכנה. עם זאת, בשברים משתנים, גורמים אלה יכולים להיות מספרים ומשוואות של המשתנה בפועל.

נניח את המשוואה (3x² + 3x)/(-3x² ניתן לכתוב שבר זה כ (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x מופיע הן במונה והן במכנה. על ידי חציית גורמים אלה מהמשוואה, התוצאה הופכת (x + 1)/(5 - x). אותו דבר כמו בביטוי (2x² + 4x + 6)/2, מכיוון שכל חלק מתחלק ב -2, נוכל לכתוב את המשוואה כ (2 (x² + 2x + 3))/2 ולאחר מכן פשט ל- x² + 2x + 3.
שים לב שאינך יכול לסמן את כל הסעיפים - תוכל לחצות רק את גורמי הכפל המופיעים במונה ובמכנה. לדוגמה, בביטוי (x (x + 2))/x, ניתן לחצות את x הן מהמונה והן מהמכנה, כך שהוא הופך להיות (x + 2)/1 = (x + 2). עם זאת, אי אפשר לסמן (x + 2)/x ל- 2/1 = 2.

שלב 4. הכפל את החלק בסוגריים בקבוע

כאשר מכפילים את החלק שיש לו את המשתנה בסוגריים בקבוע, לפעמים הכפלת כל חלק בסוגריים בקבוע יכולה לגרום למשוואה פשוטה יותר. זה חל על קבועים שמורכבים רק ממספרים וקבועים שיש להם משתנים.

לדוגמה, משוואה 3 (x² ניתן לפשט את 8 + עד 3x² + 24, ואילו 3x (x² ניתן לפשט את 8 + עד 3x³ + 24x.
שים לב שבמקרים מסוימים, כגון שברים משתנים, ניתן לחצות קבועים סביב הסוגריים כך שלא יהיה צורך להכפיל אותם בחלק הסוגריים. בשברים (3 (x² + 8))/3x, למשל, גורם 3 מופיע הן במונה והן במכנה, כך שנוכל לחצות אותו ולפשט את הביטוי ל- (x² + 8)/x. ביטוי זה פשוט וקל יותר לעבודה מאשר (3x³ + 24x)/3x, וזו התוצאה שנקבל אם נכפיל אותה.

שלב 5. פשט על ידי פקטורינג

פקטורינג היא טכניקה שניתן להשתמש בה כדי לפשט כמה ביטויים משתנים, כולל פולינומים. חשבו על פקטורינג כהפוך להכפלת החלק בסוגריים בשלב שלמעלה - לפעמים, אפשר לחשוב על ביטוי כשני חלקים המוכפלים זה בזה, ולא כביטוי יחידי. זה נכון במיוחד אם הפקטור של משוואה מאפשר לך לחצות את אחד החלקים שלה (כמו בשברים). במקרים מסוימים (לרוב עם משוואות ריבועיות), פקטורינג עשוי אפילו לאפשר לך למצוא את הפתרון למשוואה.

הבה נניח שוב את הביטוי x² - 5x + 6. ניתן לחשב ביטוי זה ל- (x - 3) (x - 2). לכן, אם x² - 5x + 6 הוא המונה של משוואה נתונה שבה למכנה יש אחד מהגורמים הללו, כמו בביטוי (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), אולי נרצה לכתוב אותו בצורה של גורם כך שנוכל לחצות את הגורם עם המכנה. במילים אחרות, ב- (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)), ניתן לחצות את החלק (x - 2) להיות (x - 3)/2.
כפי שצוין לעיל, סיבה נוספת שתרצה לגדל את המשוואות שלך היא שפקטורינג יכול לתת לך תשובות למשוואות מסוימות, במיוחד אם הן נכתבות כשוות 0. לדוגמה, משוואה x² - 5x + 6 = 0. פקטורינג נותן (x - 3) (x - 2) = 0. מכיוון שכל מספר מוכפל באפס שווה לאפס, אנו יודעים שאם חלק כלשהו בסוגריים שווה לאפס, כל המשוואה משמאל ל- סימן השווים הוא גם אפס. אז זה

שלב 3. da

שלב 2. הן שתי התשובות למשוואה.