כיצד לפשט שברים מורכבים: 9 שלבים (עם תמונות)

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-15 08:15

שבר מורכב הוא שבר שבו המונה, המכנה או שניהם מכילים גם שבר. מסיבה זו לפעמים מכנים שברים מורכבים בשם "שברים מוערמים". פישוט שברים מורכבים יכול להיות קל או קשה, תלוי בכמה מספרים במונה ובמכנה, בין אם אחד המספרים הוא משתנה, או מורכבות המספר המשתנה. ראה שלב 1 להלן כדי להתחיל!

שלב

שיטה 1 מתוך 2: פישוט שברים מורכבים עם כפל הפוך

שלב 1. פשט את המונה והמכנה לשבר אחד במידת הצורך

לא תמיד קשה לפתור שברים מורכבים. למעשה, שברים מורכבים אשר המונה והמכנה שלהם מכילים שבר אחד הם בדרך כלל די קל לפתור. לכן, אם המונה או המכנה (או שניהם) של שבר מורכב מכיל שברים או שברים מרובים ומספר שלם, פשט אותו כדי לקבל שבר יחיד הן במונה והן במכנה. מצא את הכפל הנפוץ לפחות (LCM) של שני שברים או יותר.

• לדוגמה, נניח שאנחנו רוצים לפשט חלק מורכב (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). ראשית, נפשט הן את המונה והן את המכנה של שבר מורכב לשבר אחד.

  • כדי לפשט את המונה, השתמש ב- LCM 15 המתקבל על ידי הכפלת 3/5 ב- ו- 3/3. המונה יהיה 9/15 + 2/15, השווה 15/11.
  • כדי לפשט את המכנה, נשתמש בתוצאת LCM של 70 המתקבלת על ידי הכפלת 5/7 ב- 10/10 ו- 3/10 ב- 7/7. המכנה יהיה 50/70 - 21/70, שזה שווה ל- 29/70.
  • לפיכך, השבר המורכב החדש הוא (11/15)/(29/70).

שלב 2. הפוך את המכנה כדי למצוא אותו הדדי

בהגדרה, חלוקת מספר אחד במספר זהה להכפלת המספר הראשון בהדדי של המספר השני. כעת, כאשר יש לנו שבר מורכב עם שבר יחיד הן במונה והן במכנה, נשתמש בחלוקה זו כדי לפשט את השבר המורכב. ראשית, מצא את ההדדיות של השבר בתחתית השבר המורכב. עשו זאת על ידי "היפוך" השבר - הצבת המונה במקום המכנה ולהיפך.

• בדוגמה שלנו, השבר במכנה של השבר המורכב (11/15)/(29/70) הוא 29/70. כדי למצוא את ההפוך, אנו "הופכים" אותו כך שנקבל 70/29.

  שים לב שאם לשבר מורכב יש מספר שלם במכנה, נוכל להתייחס אליו כאל שבר ולמצוא אותו הדדי. לדוגמה, אם השבר המורכב הוא (11/15)/(29), נוכל להפוך את המכנה 29/1, כלומר הדדי הוא 1/29.

שלב 3. הכפל את מונה השבר המורכב על ידי הדדי של המכנה

כעת, לאחר שקיבלנו את ההדדי של המכנה של השבר המורכב, הכפל אותו במונה כדי לקבל שבר פשוט אחד. זכור שכדי להכפיל שני שברים, נחצה רק את הכפל - מונה השבר החדש הוא מספר המונה של שני השברים הישנים, כמו גם המכנה.

בדוגמה שלנו, נכפיל 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 ו- 15 × 29 = 435. אם כן, השבר הפשוט החדש הוא 770/435.

שלב 4. פשט את השבר החדש על ידי מציאת הגורם המשותף הגדול ביותר

יש לנו כבר שבר פשוט אחד, אז כל שעלינו לעשות הוא להמציא את המספר הפשוט ביותר. מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר (GCF) של המונה והמכנה וחלק את שניהם במספר זה כדי לפשט אותו.

אחד הגורמים השכיחים של 770 ו -435 הוא 5. לכן, אם נחלק את המונה והמכנה של השבר ב- 5, נקבל 154/87. 154 ו -87 אין גורמים משותפים, אז זו התשובה הסופית!

שיטה 2 מתוך 2: פישוט שברים מורכבים המכילים מספרים משתנים

שלב 1. במידת האפשר, השתמש בשיטת הכפל ההפוך למעלה

כדי להיות ברור, ניתן לפשט כמעט את כל השברים המורכבים על ידי הפחתת המונה והמכנה בשבר יחיד והכפלת המונה בגומלין של המכנה. שברים מורכבים המכילים משתנים כלולים גם הם, למרות שככל שהביטוי של משתנים בשברים מורכבים הוא מורכב יותר, כך יהיה קשה יותר ולוקח יותר זמן להשתמש בכפל הפוך. עבור שברים מורכבים "קלים" המכילים משתנים, כפל הפוך הוא בחירה טובה, אך שברים מורכבים עם מספר משתנים מרובים במונה ובמכנה עשויים להיות קלים יותר לפשט בדרך החלופית המתוארת להלן.

• לדוגמה, (1/x)/(x/6) קל לפשט על ידי כפל הפוך. 1/x × 6/x = 6/x². אין צורך להשתמש בשיטות חלופיות כאן.
• עם זאת, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))) קשה יותר לפשט על ידי כפל הפוך. הפחתת המונה והמכנה של שברים מורכבים לשברים בודדים, הכפלה הפוכה והקטנת התוצאה למספרים הפשוטים ביותר יכול להיות תהליך מסובך. במקרה זה, השיטה החלופית להלן עשויה להיות קלה יותר.

שלב 2. אם הכפל הפוך אינו מעשי, התחל במציאת ה- LCM של המספר השברי בשבר המורכב

השלב הראשון הוא למצוא את ה- LCM של כל המספרים השברים בשבר מורכב - הן במונה והן במכנה. בדרך כלל, אם למספר שבר אחד או יותר יש מספר במכנה, ה- LCM הוא המספר במכנה.

קל יותר להבין זאת בעזרת דוגמה. בואו ננסה לפשט את השברים המורכבים שהוזכרו לעיל, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). המספרים השברים בשבר מורכב זה הם (1)/(x+3) ו- (1)/(x-5). ה- LCM של שני השברים הוא המספר במכנה: (x+3) (x-5).

שלב 3. הכפל את מניין השבר המורכב על ידי ה- LCM החדש שנמצא

לאחר מכן, עלינו להכפיל את המספר בשבר המורכב ב- LCM של המספר השברירי. במילים אחרות, נכפיל את כל השברים המורכבים ב- (KPK)/(KPK). אנו יכולים לעשות זאת באופן עצמאי מכיוון ש (KPK)/(KPK) שווה ל -1 ראשית, הכפל את המונים עצמם.

• בדוגמה שלנו, נכפיל את השבר המורכב, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), כלומר ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). עלינו להכפיל באמצעות המונה והמכנה של השבר המורכב, להכפיל כל מספר ב (x + 3) (x-5).

  • ראשית, בואו נכפיל את המונים: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = איקס³ - 12x² +6x +145

שלב 4. הכפל את המכנה של השבר המורכב ב- LCM כפי שהיית עושה עם המונה

המשך להכפיל את השבר המורכב ב- LCM שנמצא על ידי המשך למכנה. הכפל הכל, הכפל כל מספר ב- LCM.

• המכנה של השבר המורכב שלנו, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) הוא x +4 +((1) // (x-5)). נכפיל אותו ב- LCM שנמצא, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = איקס³ + 2x² - 22x - 57

שלב 5. צור שבר חדש ופשוט מהמונה והמכנה החדש שנמצא

לאחר הכפלת השבר ב- (KPK)/(KPK) ופישוטו על ידי שילוב המספרים, התוצאה היא שבר פשוט שאינו מכיל מספר שבר. שים לב כי על ידי הכפלת ה- LCM של המספר השברי בשבר המורכב המקורי, המכנה של שבר זה יותש וישאיר את המספר המשתנה והמספר השלם במונה התשובה ובמכנה של התשובה, ללא כל שברים.

בעזרת המונה והמכנה שנמצאו למעלה, אנו יכולים לבנות שבר זהה לשבר המורכב המקורי, אך אינו מכיל את המספר השברירי. המונה שהתקבל הוא x³ - 12x² + 6x + 145 והמכנה שקיבלנו היה x³ + 2x² - 22x - 57, כך השבר החדש הופך (איקס³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

טיפים

• הצג כל שלב בתפקיד. שברים יכולים להיות מבלבלים אם השלבים נספרים מהר מדי או מנסים לעשות זאת בעל פה.
• מצא דוגמאות לשברים מורכבים באינטרנט או בספרים. בצע כל שלב עד שניתן יהיה לשלוט בו.