משוואה רציונלית היא חלק עם משתנה אחד או יותר במונה או במכנה. משוואה רציונלית היא כל חלק הכולל משוואה רציונלית אחת לפחות. בדומה למשוואות אלגבריות רגילות, משוואות רציונאליות נפתרות על ידי ביצוע אותה פעולה משני צידי המשוואה עד שניתן להעביר את המשתנים לשני צדי המשוואה. שתי טכניקות מיוחדות, כפל צולב ומציאת המכנה הפחות משותף, הן דרכים שימושיות מאוד להעביר משתנים ולפתור משוואות רציונאליות.
שלב
שיטה 1 מתוך 2: כפל חוצה
שלב 1. במידת הצורך, סדר מחדש את המשוואה שלך כדי לקבל שבר בצד אחד של המשוואה
כפל צולב הוא דרך קלה ומהירה לפתור משוואות רציונאליות. למרבה הצער, שיטה זו יכולה לשמש רק למשוואות רציונליות המכילות לפחות משוואה רציונלית אחת או שבר מכל צד של המשוואה. אם המשוואה שלך לא עומדת בדרישות המוצרים החוצות האלה, ייתכן שיהיה עליך להשתמש בפעולות אלגבריות כדי להעביר את החלקים למקומות הנכונים.
-
לדוגמה, ניתן להכניס את המשוואה (x + 3)/4-x/(-2) = 0 בקלות לצורת מוצר חוצה על ידי הוספת x/(-2) לשני צידי המשוואה, כך שהיא הופכת ל- (x + 3)/4 = x/(-2).
שים לב שניתן להמיר מספרים עשרוניים ושלמים לשברים על ידי מתן המכנה 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, למשל, ניתן לשכתב כ- (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, מה שהופך אותו לספק את תנאי הכפל הצלב
- חלק מהמשוואות הרציונאליות אינן יכולות לצמצם בקלות לצורה שיש לה חלק אחד או משוואה רציונאלית מכל צד. במקרים כאלה, השתמשו באותה גישה הכי פחות מכנה.
שלב 2. חצו את הכפל
כפל צולב פירושו הכפלת אחד ממוני השבר במכנה של שבר אחר ולהיפך. הכפל את מונה השבר בצד שמאל במכנה השבר מימין. חזור על הפעולה עם המכנה הימני עם המכנה השמאלי.
כפל צולב פועל על פי עקרונות אלגבריים בסיסיים. ניתן להפוך משוואות רציונליות ושברים אחרים ללא שברים על ידי הכפלתן במכנה. מוצר קרוס הוא בעצם דרך מהירה להכפיל את שני צדי המשוואה בשני המכנים. לא מאמינים? נסה - תקבל את אותה התוצאה לאחר שפשט אותה
שלב 3. הפוך את שני המוצרים לשווים זה לזה
לאחר הכפלה צולבת תקבלו שתי תוצאות כפל. הפוך אותם לשווים זה לזה ופשט כדי להפוך את המשוואה לפשוטה ככל האפשר.
לדוגמה, אם המשוואה הרציונלית המקורית שלך הייתה (x+3)/4 = x/(-2), לאחר הכפלה צולבת, המשוואה החדשה שלך הופכת ל -2 (x+3) = 4x. אם תרצה, תוכל לכתוב אותו גם כ -2x - 6 = 4x
שלב 4. מצא את ערך המשתנה שלך
השתמש בפעולות אלגבריות כדי למצוא את ערך המשתנה של המשוואה שלך. זכור שאם x מופיע משני צידי המשוואה, עליך להוסיף או להפחית x משני צידי המשוואה כדי להשאיר את x בצד אחד בלבד של המשוואה.
בדוגמה שלנו, אנו יכולים לחלק את שני צידי המשוואה ב- -2, כך x+3 = -2x. חיסור x משני הצדדים נותן 3 = -3x. לבסוף, על ידי חלוקת שני הצדדים ב- -3, התוצאה הופכת ל -1 = x, שניתן לכתוב כ- x = -1. מצאנו את הערך של x, ופתור את המשוואה הרציונלית שלנו
שיטה 2 מתוך 2: מציאת המכנה המשותף הפחות
שלב 1. דע את השעה המדויקת לשימוש באותו מכנה הקטן ביותר
ניתן להשתמש באותו מכנה הקטן ביותר לפשט משוואות רציונאליות, מה שהופך אותן לחיפושים אחר ערכים משתנים. מציאת המכנה הכי פחות משותף היא רעיון טוב אם לא ניתן לכתוב את המשוואה הרציונלית שלך בקלות במונחים של שבר אחד (ושבר אחד בלבד) מכל צד של המשוואה. לפתרון משוואות רציונאליות עם שלושה חלקים או יותר, המכנה הכי פחות משותף מועיל. עם זאת, כדי לפתור משוואה רציונלית עם שני חלקים בלבד, מהר יותר להשתמש במוצר צולב.
שלב 2. בדוק את המכנה של כל שבר
זהה את המספר הקטן ביותר שכל מכנה יכול לחלק ולייצר מספר שלם. מספר זה הוא המכנה הכי פחות משותף למשוואה שלך.
- לפעמים המכנה המשותף הקטן ביותר - כלומר המספר הקטן ביותר שיש בו את כל הגורמים במכנה - נראה בבירור. לדוגמה, אם המשוואה שלך היא x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, לא קשה לראות את המספר הקטן ביותר שיש לו גורם 3, 2 ו- 6, שהוא המספר 6.
- עם זאת, לעתים קרובות המכנה הפחות משותף של משוואה רציונלית אינו נראה בבירור. במקרה כזה, נסה לבדוק כפולות של המכנה הגדול יותר עד שתמצא מספר שיש לו גורם של כל המכנים הקטנים האחרים. לעתים קרובות המכנה הפחות משותף הוא תוצר של שני מכנים. לדוגמה, במשוואה x/8 + 2/6 = (x-3)/9, המכנה הכי פחות משותף הוא 8*9 = 72.
- אם לאחד או יותר ממכנים השבר שלך יש משתנים, תהליך זה קשה יותר אך אפשרי לביצוע. במקרה שכזה, המכנה הכי פחות משותף הוא משוואה (עם משתנה) המתחלקת על ידי כל המכנים האחרים. למשל במשוואה 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), המכנה הכי פחות משותף הוא 3x (x-1) מכיוון שכל מכנה יכול לחלק אותו-חלוקה ב- (x-1) נותנת 3x, חלוקה ב- 3x נותן (x-1), וחילוק ב- x נותן 3 (x-1).
שלב 3. הכפל כל חלק במשוואה הרציונלית ב -1
נראה שכפל כל חלק ב -1 נראה חסר תועלת. אבל הנה הטריק. 1 ניתן להגדיר כל מספר שהוא זהה הן במונה והן במכנה, כגון -2/2 ו- 3/3, שזו הדרך הנכונה לכתוב 1. שיטה זו מנצלת את ההגדרה האלטרנטיבית. הכפל כל חלק במשוואה הרציונלית שלך ב -1, רשום את המספר 1 שכאשר הוא מוכפל במכנה נותן המכנה המשותף הקטן ביותר.
- בדוגמה הבסיסית שלנו, נכפיל את x/3 ב- 2/2 כדי לקבל 2x/6 ונכפיל 1/2 ב- 3/3 כדי לקבל 3/6. ל- 2x + 1/6 יש כבר אותו מכנה הקטן ביותר, שהוא 6, כך שנוכל להכפיל אותו ב- 1/1 או להשאיר אותו לבד.
- בדוגמה שלנו עם משתנה במכנה השבר, התהליך קצת יותר מסובך. מכיוון שהמכנה הקטן ביותר שלנו הוא 3x (x-1), אנו מכפילים כל משוואה רציונאלית במשהו שמחזיר 3x (x-1). נכפיל 5/(x-1) ב- (3x)/(3x) מה שנותן 5 (3x)/(3x) (x-1), נכפיל 1/x ב- 3 (x-1)/3 (x- 1) שנותן 3 (x-1)/3x (x-1), והכפלת 2/(3x) ב- (x-1)/(x-1) נותן 2 (x-1)/3x (x- 1).
שלב 4. פשט ומצא את הערך של x
כעת, מכיוון שלכל חלק במשוואה הרציונלית שלך יש אותו מכנה, אתה יכול להסיר את המכנה מהמשוואה שלך ולפתור את המונה. הכפל את שני צידי המשוואה כדי לקבל את ערך המונה. לאחר מכן, השתמש בפעולות אלגבריות כדי למצוא את הערך של x (או כל משתנה שתרצה לפתור) בצד אחד של המשוואה.
- בדוגמה הבסיסית שלנו, לאחר הכפלת כל החלקים בטופס החלופי 1, נקבל 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. ניתן להוסיף שני שברים אם יש להם אותו מכנה, כך שנוכל לפשט את המשוואה ל (2x+3)/6 = (3x+1)/6 מבלי לשנות את הערך. הכפל את שני הצדדים ב- 6 כדי להסיר את המכנה, כך שהתוצאה היא 2x+3 = 3x+1. הפחת את 1 משני הצדדים כדי לקבל 2x+2 = 3x, וחסר 2x משני הצדדים כדי לקבל 2 = x, שניתן לכתוב כ- x = 2.
- בדוגמה שלנו עם משתנה במכנה, המשוואה שלנו לאחר הכפלה ב- 1 הופכת ל -5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). הכפלת כל החלקים באותו המכנה הקטן ביותר, ומאפשרת לנו להשמיט את המכנה, הופכת ל -5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). זה חל גם על 5x = 3x -3 + 2x -2, מה שמפשט ל -15x = x -5. חיסור x משני הצדדים נותן 14x = -5, מה שבסופו של דבר מפשט ל- x = -5/14.
טיפים
- כאשר פתרת את המשתנה, בדוק את התשובה שלך על ידי חיבור ערך המשתנה למשוואה המקורית. אם ערך המשתנה שלך נכון, תוכל לפשט את המשוואה המקורית שלך למשפט פשוט שתמיד שווה 1 = 1.
- שים לב שאתה יכול לכתוב כל פולינום כמשוואה רציונלית; שים אותו מעל המכנה 1. אז ל- x+3 ו- (x+3)/1 יש אותו ערך, אך ניתן לסווג את המשוואה השנייה כמשוואה רציונלית מכיוון שהיא כתובה כשבר.
