3 דרכים לפשט ביטויים אלגבריים

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-15 08:15

ללמוד כיצד לפשט ביטויים אלגבריים הוא אחד המפתחות לשליטה באלגברה הבסיסית והכלי השימושי ביותר שיש לכל מתמטיקאי. פישוט מאפשר למתמטיקאים להמיר ביטויים מורכבים, ארוכים ו/או מוזרים לביטויים פשוטים או קלים יותר. קל מאוד ללמוד כישורי פישוט בסיסיים - גם למי ששונא מתמטיקה. על ידי ביצוע מספר שלבים פשוטים, ניתן לפשט רבים מהסוגים הנפוצים ביותר של ביטויים אלגבריים, מבלי להשתמש בידע מיוחד במתמטיקה. בדוק את שלב 1 כדי להתחיל!

שלב

הבנת מושגים חשובים

שלב 1. קבץ מונחים דומים לפי המשתנים והכוחות שלהם

באלגברה, למונחים דומים יש אותה תצורה משתנה, עם אותו כוח. במילים אחרות, כדי ששני מונחים יהיו שווים, עליהם להיות בעלי אותו משתנה, או כלל לא משתנה, ולכל משתנה יש אותו כוח, או שאין לו מעריך. סדר המשתנים במונחים אינו חשוב.

לדוגמה, 3x² ו 4x² הם כמו מונחים מכיוון שלשניהם יש משתנה x עם עוצמת הריבוע. עם זאת, x ו- x² אינם כמו מונחים מכיוון שלכל מונח יש משתנה x בעל עוצמה אחרת. כמעט אותו דבר, -3yx ו- 5xz אינם מונחים דומים כי לכל מונח יש משתנה אחר.

שלב 2. גורם על ידי כתיבת המספר כתוצר של שני הגורמים

פקטורינג הוא הרעיון של כתיבת מספר נתון כתוצר של שני גורמים המוכפלים. למספרים יכולים להיות יותר מקבוצת גורמים אחת - לדוגמה, ניתן להשיג 12 מ -1 × 12, 2 × 6 ו -3 × 4, כך שאנו יכולים לומר כי 1, 2, 3, 4, 6 ו -12 הם גורמים מתוך 12 דרך נוספת לדמיין זאת היא שגורמי המספר הם המספרים המחלקים את המספר בשלמותו.

• לדוגמה, אם נרצה להגדיר גורם 20, נוכל לכתוב אותו כ 4 × 5.
• שים לב שניתן גם להביא בחשבון מונחים משתנים. -20x, למשל, ניתן לכתוב כ 4 (5x).
• לא ניתן לחשב מספרים ראשוניים מכיוון שניתן לחלק אותם רק בעצמם ובאחד.

שלב 3. השתמש בקיצור KaPaK BoTaK כדי לזכור את סדר הפעולות

לפעמים, פישוט ביטוי פשוט פותר את הפעולה במשוואה עד שהיא כבר לא ניתנת לביצוע. במקרים אלה, חשוב מאוד לזכור את סדר הפעולות כך שלא יתרחשו טעויות אריתמטיות. ראשי התיבות KaPaK BoTaK יעזרו לך לזכור את סדר הפעולות - האותיות מציינות את סוגי הפעולות שעליך לבצע, בסדר:

• ק לְהִכָּשֵׁל
• פ מעלית
• ק עלי
• ב שוב
• ט לְהוֹסִיף
• ק שרימפ

שיטה 1 מתוך 3: מיזוג תנאי לייק

שלב 1. רשום את המשוואה שלך

לעתים קרובות ניתן לפתור את המשוואות האלגבריות הפשוטות ביותר, הכוללות מספר מונחים משתנים בלבד עם מקדמים שלמים וללא שברים, שורשים וכו '. לרוב הבעיות במתמטיקה, הצעד הראשון לפשט את המשוואה שלך הוא לכתוב אותה!

כבעיה לדוגמה, בשלבים הבאים, אנו משתמשים בביטוי 1 + 2x - 3 + 4x.

שלב 2. זהה שבטים דומים

לאחר מכן, חפש מונחים דומים במשוואה שלך. זכור שלמונחים דומים יש את אותו משתנה ומעריך.

לדוגמה, בואו לזהות מונחים דומים במשוואה שלנו 1 + 2x - 3 + 4x. ל- 2x ול- 4x יש אותו משתנה עם אותו הספק (במקרה זה, ל- x אין מעריך). כמו כן, 1 ו- -3 הם מונחים דומים מכיוון שאין להם משתנים. אז במשוואה שלנו, 2x ו 4x ו 1 ו -3 הם שבטים דומים.

שלב 3. שילוב מונחים דומים

כעת, לאחר שזיהית מונחים דומים, תוכל לשלב אותם כדי לפשט את המשוואה שלך. הוסף את המונחים (או הפחת במקרה של מונחים שליליים) כדי לצמצם את קבוצת המונחים עם אותו משתנה ומעריך למונח אחד שווה.

• נוסיף מונחים דומים בדוגמה שלנו.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

שלב 4. צור משוואה פשוטה יותר מהמונחים הפשוטים

לאחר שילוב המונחים הדומים שלך, צור משוואה ממכלול המונחים החדש והקטן יותר. תקבל משוואה פשוטה יותר, שיש לה מונח אחד לקבוצות המשתנים והכוחות השונים במשוואה המקורית. משוואה חדשה זו שקולה למשוואה המקורית.

בדוגמה שלנו, המונחים הפשוטים שלנו הם 6x ו- -2, כך שהמשוואה החדשה שלנו היא 6x - 2. משוואה פשוטה זו מקבילה למקור (1 + 2x - 3 + 4x), אך קצרה יותר וקלה יותר לעבודה. זה גם קל יותר להתחשב, שאנו נבחן להלן, וזוהי עוד מיומנות פישוט חשובה.

שלב 5. עקוב אחר סדר הפעולות בעת שילוב מונחים דומים

במשוואות פשוטות מאוד כמו זו שעבדנו עליה בבעיה לדוגמא למעלה, קל לזהות מונחים דומים. עם זאת, במשוואות מורכבות יותר, כגון ביטויים הכוללים מונחים סוגריים, שברים ושורשים, ייתכן שמונחים שניתן לשלב אינם נראים בבירור. במקרים אלה, עקוב אחר סדר הפעולות, בצע פעולות לפי התנאים בביטוי שלך לפי הצורך עד שנותרות פעולות החיבור והחיסור.

• לדוגמה, בואו נשתמש במשוואה 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. לא יהיה נכון לשקול מיד את 3x ו- 2x כמונחים דומים ולשלב אותם מכיוון שהסוגריים בביטוי מצביעים על כך שעלינו לבצע פעולות אחרות תחילה. ראשית, אנו מבצעים פעולות אריתמטיות על הביטוי בסדר הפעולות כדי לקבל מונחים בהם אנו יכולים להשתמש. ראה את הדברים הבאים:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. כעת, מכיוון שהפעולות היחידות שנותרו הן חיבור וחיסור, נוכל לשלב מונחים דומים.
  • איקס² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • איקס² + 12x + 3

שיטה 2 מתוך 3: פקטורינג

שלב 1. זיהוי הגורם הנפוץ הגדול ביותר בביטוי

פקטורינג היא דרך לפשט ביטוי על ידי הסרת הגורמים זהים בכל המונחים הדומים בביטוי. כדי להתחיל, מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר שיש לכל המונחים - במילים אחרות, המספר הגדול ביותר המחלק את כל המונחים בביטוי שלם.

• בואו נשתמש במשוואת 9x² + 27x - 3. שים לב שכל מונח במשוואה זו מתחלק ב- 3. מכיוון שהמונחים אינם מתחלקים במספר גדול יותר, אנו יכולים לומר כי

  שלב 3. הוא הגורם המשותף הגדול ביותר שלנו.

שלב 2. חלק את המונחים בביטוי לפי הגורם המשותף הגדול ביותר

לאחר מכן, חלק כל מונח במשוואה שלך בגורם השכיח הגדול ביותר שמצאת זה עתה. למונחי המנה יהיה מקדם קטן יותר מהמשוואה המקורית.

• בואו נחשב את המשוואה שלנו לגורם המשותף הגדול ביותר שלה, 3. לשם כך נחלק כל מונח ב -3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • לפיכך, הביטוי החדש שלנו הוא 3x² + 9x - 1.

שלב 3. כתוב את הביטוי שלך כתוצר של הגורם המשותף הגדול ביותר מוכפל במונחים הנותרים

הביטוי החדש שלך אינו שווה לביטוי המקורי שלך, ולכן לא יהיה נכון לומר שהביטוי פשוט. כדי להפוך את הביטוי החדש שלנו למקור, עלינו לכלול את העובדה שהביטוי שלנו חולק בגורם המשותף הגדול ביותר. סגור את הביטוי החדש שלך בסוגריים וכתוב את הגורם המשותף הגדול ביותר של המשוואה המקורית כמקדם הביטוי בסוגריים.

למשוואה לדוגמא שלנו, 3x² + 9x - 1, נוכל לצרף את הביטוי בסוגריים ולהכפיל אותו בגורם המשותף הגדול ביותר של המשוואה המקורית כדי לקבל 3 (3x² + 9x - 1). משוואה זו מקבילה למשוואה המקורית, 9x² +27x - 3.

שלב 4. השתמש בפקטורינג כדי לפשט שברים

כעת אתה עשוי לתהות מדוע משתמשים בפקטורינג, אם גם לאחר הסרת הגורם המשותף הגדול ביותר, יש להכפיל את הביטוי החדש שוב בגורם זה. למעשה, פקטורינג מאפשר למתמטיקאים לבצע טריקים שונים כדי לפשט ביטויים. אחד הטריקים הקלים ביותר שלו מנצל את העובדה שהכפלת המונה והמכנה של שבר באותו מספר יכולה לייצר שברים שווים. ראה את הדברים הבאים:

• אמור את ביטוי הדוגמא הראשוני שלנו, 9x² + 27x - 3, הוא הכמת של השבר הגדול עם 3 כמניין. השבר ייראה כך: (9x² + 27x - 3)/3. אנו יכולים להשתמש בפקטורינג כדי לפשט שברים.

  • בואו נחליף את צורת הפקטורינג של הביטוי המקורי שלנו לביטוי במונה: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • שים לב שעכשיו, למונה ולמכנה יש מקדם 3. חלוקת המונה והמכנה ב -3 נקבל: (3x² + 9x - 1)/1.
  • מכיוון שכל חלק עם מכנה 1 שווה למונחים במונה, אנו יכולים לומר כי ניתן לפשט את השבר הראשוני שלנו עד 3x² + 9x - 1.

שיטה 3 מתוך 3: יישום כישורי פישוט נוספים

שלב 1. פשט שברים על ידי חלוקה באותם גורמים

כפי שצוין לעיל, אם למונה ולמכנה של משוואה יש אותם גורמים, ניתן להשמיט גורמים אלה לחלוטין בשבר. לפעמים, זה ידרוש פקטורינג במונה, במכנה או בשניהם (כפי שקורה בבעיה לדוגמא לעיל) בעוד שלפעמים אותם גורמים ברורים לעיתים קרובות. שימו לב שאפשר גם לחלק את מונחי המונה לפי המשוואה במכנה אחד אחד כדי לקבל ביטוי פשוט.

• בואו נעבוד על דוגמה שאינה דורשת פקטורינג. לשברים (5x² + 10x + 20)/10, נוכל לחלק כל מונח במונה ב -10 כדי לפשט, גם אם המקדם הוא 5 ב -5x² אינו גדול מ -10 ולכן 10 אינו גורם.

  אם נעשה זאת, נקבל ((5x²)/10) + x + 2. אם נרצה, נוכל לשכתב את המונח הראשון כ- (1/2) x² כך נקבל (1/2) x² +x+2.

שלב 2. השתמש בגורמים בריבוע כדי לפשט את השורשים

הביטוי מתחת לסימן השורש נקרא ביטוי השורש. ביטוי זה ניתן לפשט על ידי זיהוי הגורמים בריבוע (גורמים שהם ריבועים של מספרים שלמים) וביצוע פעולת השורש הריבועי בנפרד כדי להסיר אותם מתחת לסימן השורש הריבועי.

• בואו נעשה דוגמא פשוטה - (90). אם נחשוב על 90 כתוצר של שני הגורמים שלו, 9 ו -10, נוכל לקחת את השורש הריבועי של 9 שהוא מספר שלם 3 ולהסיר אותו מהסימן הרדיקלי. במילים אחרות:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

שלב 3. הוסף מעריכים בעת הכפלת שני מעריכים; להפחית בעת חלוקה

כמה ביטויים אלגבריים דורשים הכפלה או חלוקה של מונחי כוח. במקום לחשב או לחלק כל מעריך ידנית, פשוט הוסף את המעריכים בעת הכפלה וחסר בעת חלוקה כדי לחסוך זמן. ניתן להשתמש במושג זה גם כדי לפשט ביטויים משתנים.

• לדוגמה, נשתמש בביטוי 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/איקס¹⁵). בכל אירוע בו נדרשת כפל או חלוקה של מעריכים, נחסור או נוסיף מעריכים בהתאמה, כדי למצוא במהירות את המונח הפשוט. ראה את הדברים הבאים:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/איקס¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• להסבר כיצד זה עובד, ראה להלן:

  • הכפלת מונחים במעריכים היא למעשה כמו הכפלת מונחים לא במעריכים ארוכים. למשל, כי x³ = x × x × x ו- x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), או x⁸.
  • כמעט אותו דבר, חלוקת מעריכים היא כמו חלוקת מונחים, לא מעריכים ארוכים. איקס⁵/איקס³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). מכיוון שניתן לחצות כל מונח במונה על ידי מציאת אותו מונח במכנה, נותרו רק שני x במונה ולא נשאר כלום בתחתית, נותן את התשובה x².

טיפים

• זכור תמיד כי עליך לדמיין את המספרים הללו כבעלי סימנים חיוביים ושליליים. אנשים רבים עוצרים לחשוב איזה סימן עלי לשים כאן?
• בקש עזרה אם אתה זקוק לה!
• פישוט ביטויים אלגבריים אינו פשוט, אך לאחר שתבין אותו, תשתמש בו למשך שארית חייך.

אַזהָרָה

• חפש תמיד שבטים דומים ואל תלך שולל לפי דרגה.
• הקפד לא להוסיף מספרים, סמכויות או פעולות שאסור שיהיו בשוגג.