ישנן מספר פונקציות מתמטיות המשתמשות בקודקודים. לדמות גיאומטרית יש כמה קודקודים, למערכת אי -שוויון יש קודקוד אחד או יותר, ולפרבולה או משוואה ריבועית יש גם קודקודים. כיצד למצוא קודקודים תלוי במצב, אך להלן מספר דברים שכדאי לדעת על מציאת קודקודים בכל תרחיש.
שלב
שיטה 1 מתוך 5: מציאת מספר המערבולות בצורה
שלב 1. למד את נוסחת אוילר
נוסחת אוילר, כפי שמכונה בגיאומטריה או גרפים, קובעת כי עבור כל צורה שאינה משיקה לעצמה, מספר הקצוות בתוספת מספר הקודקודים, בניכוי מספר הקצוות, תמיד יהיה שווה לשניים.
-
אם היא כתובה בצורה של משוואה, הנוסחה נראית כך: F + V - E = 2
- F מתייחס למספר הצדדים.
- V מתייחס למספר הקודקודים, או הקודקודים
- E מתייחס למספר הצלעות
שלב 2. שנה את הנוסחה כדי למצוא את מספר הקודקודים
אם אתה יודע את מספר הצדדים והקצוות שיש לצורה, אתה יכול לחשב במהירות את מספר הקודקודים באמצעות הנוסחה של אוילר. הפחת את F משני צידי המשוואה והוסף E משני הצדדים, השאר V בצד אחד.
V = 2 - F + E
שלב 3. הזן את המספרים הידועים ופתור
כל שעליך לעשות בשלב זה הוא לחבר את מספר הצדדים והקצוות למשוואה לפני הוספה או חיסור רגיל. התשובה שאתה מקבל היא מספר הקודקודים ובכך פותרת את הבעיה.
-
דוגמה: למלבן בעל 6 צדדים ו -12 קצוות …
- V = 2 - F + E
- V = 2 - 6 + 12
- V = -4 + 12
- V = 8
שיטה 2 מתוך 5: מציאת ורטקסים במערכת של אי -שוויון לינארי
שלב 1. צייר את הפתרון של מערכת האי -שוויון הלינארית
במקרים מסוימים, פתרונות ציור של כל אי השוויון במערכת יכולים להראות חזותית כמה, או אפילו את כל הקודקודים. עם זאת, אם אינך יכול, עליך למצוא את הקודקוד באלגברה.
אם אתה משתמש במחשבון גרפים כדי לצייר את אי השוויון, תוכל להחליק למעלה על המסך לנקודת הקודקוד ולמצוא את הקואורדינטות שלו כך
שלב 2. הפוך את אי השוויון למשוואה
כדי לפתור מערכת אי שוויון, עליך להמיר באופן זמני את אי השוויון למשוואות על מנת למצוא את הערך של איקס ו y.
-
דוגמה: למערכת של אי שוויון:
- y <x
- y> -x + 4
-
שנה את אי השוויון ל:
- y = x
- y> -x + 4
שלב 3. החלפת משתנה אחד למשתנה אחר
למרות שיש דרכים אחרות לפתור אותן איקס ו y, החלפה היא לרוב הדרך הקלה ביותר. הזן ערך y ממשוואה אחת לאחרת, שפירושה "החלפה" y למשוואה אחרת עם הערך של איקס.
-
דוגמה: אם:
- y = x
- y = -x + 4
-
לכן y = -x + 4 ניתן לכתוב כך:
x = -x + 4
שלב 4. פתרו את המשתנה הראשון
עכשיו שיש לך רק משתנה אחד במשוואה, אתה יכול לפתור בקלות את המשתנה, איקס, כמו במשוואות אחרות: על ידי חיבור, חיסור, חלוקה והכפלה.
-
דוגמה: x = -x + 4
- x + x = -x + x + 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4 /2
- x = 2
שלב 5. פתור את המשתנים הנותרים
הזן ערך חדש עבור איקס לתוך המשוואה המקורית כדי למצוא את הערך של y.
-
דוגמה: y = x
y = 2
שלב 6. הגדר את הקודקודים
הקודקוד הוא הקואורדינטה המכילה את הערך איקס ו y שזה עתה גילית.
דוגמה: (2, 2)
שיטה 3 מתוך 5: מציאת המערבולת על פרבולה באמצעות ציר הסימטריה
שלב 1. פרקטור המשוואה
כתוב מחדש את המשוואה הריבועית בצורת גורם. ישנן מספר דרכים לפקטור משוואה ריבועית, אך כשתסיים יהיו לך שתי קבוצות בסוגריים, שכאשר תכפיל אותן יחד תקבל את המשוואה המקורית.
-
דוגמה: (באמצעות ניתוח)
- 3x2 - 6x - 45
- פלט אותו גורם: 3 (x2 - 2x - 15)
- הכפלת מקדמי a ו- c: 1 * -15 = -15
- מוצא שני מספרים שכאשר מוכפלים שווים -15 וסכומם שווה לערך b, -2; 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- החלף את שני הערכים למשוואה 'ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15)
- פקטורינג לפי קיבוץ: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
שלב 2. מצא את היירוט x של המשוואה
כאשר הפונקציה x, f (x) שווה ל- 0, הפרבולה חוצה את ציר ה- x. זה יקרה כאשר כל גורם שווה ל- 0.
-
דוגמה: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- אז השורשים הם: (-3, 0) ו- (5, 0)
שלב 3. מצא את נקודת האמצע
ציר הסימטריה של המשוואה יהיה בדיוק באמצע הדרך בין שני שורשי המשוואה. אתה צריך להכיר את ציר הסימטריה כי הקודקודים מונחים שם.
דוגמה: x = 1; ערך זה בדיוק באמצע -3 ו -5
שלב 4. חבר את הערך של x למשוואה המקורית
חבר את ערך x של ציר הסימטריה למשוואת הפרבולה. ערך y יהיה ערך y של הקודקוד.
דוגמה: y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
שלב 5. רשום את נקודות הקודקוד
עד לנקודה זו, הערכים המחושבים האחרונים של x ו- y יתנו את הקואורדינטות של הקודקוד.
דוגמה: (1, -48)
שיטה 4 מתוך 5: מציאת המערבולת על פרבולה על ידי השלמת ריבועים
שלב 1. שכתב את המשוואה המקורית בצורת קודקוד
צורת ה"קודקוד "היא משוואה הכתובה בצורה y = a (x - h)^2 + k, ונקודת הקודקוד היא (h, k). יש לכתוב את המשוואה הריבועית המקורית בצורה זו, ולשם כך עליך להשלים את הריבוע.
דוגמה: y = -x^2 - 8x - 15
שלב 2. קבל את המקדם א
הסר את המקדם הראשון, a משני המקדמים הראשונים של המשוואה. השאר את המקדם c האחרון בשלב זה.
דוגמה: -1 (x^2 + 8x) - 15
שלב 3. מצא את הקבוע השלישי בתוך הסוגריים
הקבוע השלישי חייב להיות מוקף בסוגריים כך שהערכים בסוגריים יוצרים ריבוע מושלם. קבוע חדש זה שווה לריבוע של מקדם החצי באמצע.
-
דוגמה: 8 /2 = 4; 4 * 4 = 16; אז זה,
- -1 (x^2 + 8x + 16)
- זכור כי התהליכים המתבצעים בתוך הסוגריים חייבים להתבצע גם מחוץ לסוגריים:
- y = -1 (x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
שלב 4. פשט את המשוואה
מכיוון שהצורה בתוך הסוגריים היא כעת ריבוע מושלם, אתה יכול לפשט את הצורה בתוך הסוגריים לצורה מפוקסת. במקביל, ניתן להוסיף או להפחית ערכים מחוץ לסוגריים.
דוגמה: y = -1 (x + 4)^2 + 1
שלב 5. מצא את הקואורדינטות המבוססות על משוואת הקודקוד
נזכיר כי צורת הקודקוד של המשוואה היא y = a (x - h)^2 + k, עם (h, k) שהם הקואורדינטות של הקודקוד. כעת יש לך מידע מלא להזין ערכים ל- h ו- k ולפתור את הבעיה.
- k = 1
- h = -4
- לאחר מכן, ניתן למצוא את קודקוד המשוואה בכתובת: (-4, 1)
שיטה 5 מתוך 5: מציאת המערבולת על פרבולה באמצעות נוסחה פשוטה
שלב 1. מצא את ערך x של הקודקוד ישירות
כאשר משוואת הפרבולה כתובה בצורה y = ax^2 + bx + c, x של הקודקוד ניתן למצוא לפי הנוסחה x = -b / 2a. פשוט חבר את ערכי a ו- b מהמשוואה לנוסחה כדי למצוא x.
- דוגמה: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b/2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(- -2) = -4
- x = -4
שלב 2. חבר ערך זה למשוואה המקורית
חיבור הערך של x למשוואה, תוכל למצוא y. ערך y יהיה ערך y של קואורדינטות הקודקוד.
-
דוגמה: y = -x^2 - 8x - 15 = - (- 4)^2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
y = 1
שלב 3. רשום את קואורדינטות הקודקודים
ערכי x ו- y שאתה מקבל הם הקואורדינטות של נקודת הקודקוד.
