צורת השורש היא הצהרה אלגברית שיש לה את הסימן של השורש הריבועי (או שורש קוביה ומעלה). טופס זה יכול לרוב לייצג שני מספרים בעלי ערך זהה למרות שהם עשויים להיראות שונים במבט ראשון (לדוגמה, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). לכן אנו זקוקים ל"נוסחה סטנדרטית "לצורה מסוג זה. אם יש שתי הצהרות, שניהם בנוסחה הסטנדרטית, שנראות שונות, הן אינן זהות. מתמטיקאים מסכימים שהניסוח הסטנדרטי של הטופס הריבועי עומד בדרישות הבאות:
- הימנע משימוש בשברים
- אין להשתמש בכוחות שברים
- הימנע משימוש בצורת השורש במכנה
- אינו מכיל את הכפל של שתי צורות שורש
- מספרים מתחת לשורש כבר לא יכול להיות מושרש
שימוש מעשי אחד בכך הוא בבחינות ריבוי בחירות. כאשר אתה מוצא תשובה, אך התשובה שלך אינה זהה לאפשרויות הזמינות, נסה לפשט אותה בנוסחה סטנדרטית. מכיוון שמקבלי שאלות בדרך כלל כותבים תשובות בנוסחאות סטנדרטיות, עשו את אותו הדבר עם התשובות שלכם כך שיתאימו לתשובותיהן. בשאלות חיבור, פקודות כגון "פשט את התשובה שלך" או "פשט את כל השורשים" פירושו שעל התלמידים לבצע את השלבים הבאים עד שהם עומדים בנוסחה הסטנדרטית כאמור לעיל. ניתן להשתמש בשלב זה גם לפתרון משוואות, אם כי סוגים מסוימים של משוואות קלים יותר לפתור בנוסחאות לא סטנדרטיות.
שלב
שלב 1. במידת הצורך, סקור את הכללים להפעלת שורשים ומעריכים (שניהם שווים - שורשים הם סמכויות של שברים) כפי שאנו זקוקים להם בתהליך זה
סקור גם את הכללים לפשט פולינומים וצורות רציונאליות שכן נצטרך לפשט אותם.
שיטה 1 מתוך 6: ריבועים מושלמים
שלב 1. פשט את כל השורשים המכילים ריבועים מושלמים
ריבוע מושלם הוא תוצר של מספר בפני עצמו, למשל 81, שהוא תוצר של 9 x 9. כדי לפשט ריבוע מושלם, פשוט הסר את השורש הריבוע ורשום את השורש הריבועי של המספר.
- לדוגמה, 121 הוא ריבוע מושלם מכיוון ש 11 x 11 שווה ל -121. לכן, תוכל לפשט את השורש (121) ל -11, על ידי הסרת סימן השורש.
- כדי להקל על שלב זה, עליך לזכור את שתים עשרה הריבועים המושלמים הראשונים: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
שלב 2. פשט את כל השורשים המכילים קוביות מושלמות
קובייה מושלמת היא תוצר של הכפלת מספר בעצמו פעמיים, למשל 27, שהוא תוצר של 3 x 3 x 3. כדי לפשט את צורת השורש של קובייה מושלמת, פשוט הסר את השורש הריבועי ורשום את השורש הריבועי. של המספר.
לדוגמה, 343 היא קובייה מושלמת מכיוון שהיא תוצר של 7 x 7 x 7. אז שורש הקוביה של 343 הוא 7
שיטה 2 מתוך 6: המרת שברים לשורשים
או לשנות הפוך (זה עוזר לפעמים), אבל אל תערבבו אותם באותה הצהרה של root (5) + 5^(3/2). נניח שאתה רוצה להשתמש בצורת השורש ונשתמש בסמלים שורש (n) עבור השורש הריבועי ו- sqrt^3 (n) עבור שורש הקוביה.
שלב 1. קח אחד לכוחו של השבר והמיר אותו לצורת השורש, למשל x^(a/b) = root לכוח b של x^a
אם השורש הריבועי הוא בצורת שבר, המר אותו לצורה רגילה. לדוגמה, שורש ריבועי (2/3) של 4 = שורש (4)^3 = 2^3 = 8
שלב 2. המרת מעריכים שליליים לשברים, למשל x^-y = 1/x^y
נוסחה זו חלה רק על מעריכים קבועים ורציונליים. אם אתה מתמודד עם צורה כמו 2^x, אל תשנה אותה, גם אם הבעיה מצביעה על כך ש x יכול להיות שבר או מספר שלילי
שלב 3. מיזוג אותו שבט ופשט את הצורה הרציונלית המתקבלת.
שיטה 3 מתוך 6: ביטול שברים בשורשים
הנוסחה הסטנדרטית דורשת שהשורש יהיה מספר שלם.
שלב 1. תסתכל על המספר מתחת לשורש הריבועי אם הוא עדיין מכיל שבר
אם עדיין,…
שלב 2. שנה לשבר המורכב משני שורשים באמצעות שורש הזהות (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
אין להשתמש בזהות זו אם המכנה שלילי, או אם מדובר במשתנה שעשוי להיות שלילי. במקרה זה, פשט קודם את השבר
שלב 3. פשט כל ריבוע מושלם של התוצאה
כלומר, המר את sqrt (5/4) ל- sqrt (5)/sqrt (4), ולאחר מכן פשט ל- sqrt (5)/2.
שלב 4. השתמש בשיטות פישוט אחרות כגון פישוט שברים מורכבים, שילוב מונחים שווים וכו '
שיטה 4 מתוך 6: שילוב שורשי כפל
שלב 1. אם אתה מכפיל צורת שורש אחת באחרת, שלב את השניים בשורש מרובע אחד באמצעות הנוסחה:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). לדוגמה, שנה את השורש (2)*השורש (6) לשורש (12).
- הזהות למעלה, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), תקפה אם המספר מתחת לסימן ה- sqrt אינו שלילי. אל תשתמש בנוסחה זו כאשר a ו- b הם שליליים מכיוון שתעשה את הטעות של ביצוע sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). המשפט בצד שמאל שווה ל- -1 (או לא מוגדר אם אינך משתמש במספרים מורכבים) בעוד המשפט בצד ימין הוא 1+. אם a ו/או b שלילי, תחילה "שנה" את הסימן כמו sqrt (-5) = i*sqrt (5). אם הצורה מתחת לסימן השורש היא משתנה שהסימן שלו אינו ידוע מהקשר או יכול להיות חיובי או שלילי, השאר אותו כפי שהוא לעת עתה. אתה יכול להשתמש בזהות הכללית יותר, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) אשר חל על כל המספרים האמיתיים a ו- b, אך בדרך כלל נוסחה זו לא עוזרת במיוחד מכיוון שהיא מוסיפה מורכבות לשימוש בפונקציה sgn (signum).
- זהות זו תקפה רק אם לצורות השורשים יש אותו מעריך. אתה יכול להכפיל שורשים מרובעים שונים כגון sqrt (5)*sqrt^3 (7) על ידי המרתם לאותו שורש ריבועי. לשם כך, העבר זמנית את השורש הריבועי לשבר: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). לאחר מכן השתמש בכלל הכפל כדי להכפיל את השניים לשורש הריבועי של 6125.
שיטה 5 מתוך 6: הסרת הפקטור המרובע מהשורש
שלב 1. הפיכת שורשים לא מושלמים לגורמים ראשוניים
גורם הוא מספר שכאשר הוא מוכפל במספר אחר יוצר מספר - למשל, 5 ו -4 הם שני גורמים של 20. כדי לפרק שורשים לא מושלמים, רשום את כל גורמי המספר (או כמה שיותר, אם המספר גדול מדי) עד שתמצא ריבוע מושלם.
לדוגמה, נסה למצוא את כל הגורמים של 45: 1, 3, 5, 9, 15 ו- 45. 9 הוא גורם 45 והוא גם ריבוע מושלם (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
שלב 2. הסר את כל המכפילים שהם ריבועים מושלמים מתוך השורש הריבועי
9 הוא ריבוע מושלם מכיוון שהוא תוצר של 3 x 3. הוציאו את ה -9 מהשורש המרובע והחליפו אותו ב -3 מול השורש הריבועי והשאירו 5 בתוך השורש הריבועי. אם אתה "מחזיר" 3 לשורש הריבועי, הכפל בעצמו ליצירת 9, ואם אתה מכפיל ב -5 הוא מחזיר 45. 3 שורשים מתוך 5 היא דרך פשוטה לבטא את השורש של 45.
כלומר, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
שלב 3. מצא את הריבוע המושלם במשתנה
השורש הריבועי של ריבוע הוא | a |. תוכל לפשט זאת ל"א "רק אם המשתנה הידוע הוא חיובי. השורש הריבועי של a לכוח 3 כאשר הוא מחולק לשורש הריבועי של ריבוע כפול א - זכור כי המעריצים מסתכמים כאשר אנו מכפילים שני מספרים לכוחו של a, כך בריבוע כפול a ל- עוצמה שלישית.
לכן ריבוע מושלם בצורה קובית הוא ריבוע
שלב 4. הסר את המשתנה המכיל את הריבוע המושלם מהשורש הריבועי
כעת, קח ריבוע מהשורש הריבועי ושנה אותו ל | a |. הצורה הפשוטה של השורש a בעוצמה של 3 היא | a | שורש א.
שלב 5. שלב את המונחים השווים ופשט את כל השורשים של תוצאות החישוב
שיטה 6 מתוך 6: רציונליזציה של המכנה
שלב 1. הנוסחה הסטנדרטית דורשת שהמכנה יהיה מספר שלם (או פולינום אם הוא מכיל משתנה) עד כמה שניתן
-
אם המכנה מורכב ממונח אחד מתחת לסימן השורש, כגון […]/root (5), הכפל את המונה והמכנה בשורש זה כדי לקבל […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*שורש (5)/5.
עבור שורשי קוביות ומעלה, הכפל בשורש המתאים כך שהמכנה יהיה רציונלי. אם המכנה הוא שורש^3 (5), הכפל את המונה והמכנה ב- sqrt^3 (5)^2
-
אם המכנה מורכב מחיבור או חיסור של שני שורשים מרובעים כגון sqrt (2) + sqrt (6), הכפל את הכמות והמכנה על ידי הצמד שלהם, שהוא אותו צורה אך עם הסימן ההפוך. ואז […]/(שורש (2) + שורש (6)) = […] (שורש (2) -שורש (6))/(שורש (2) + שורש (6)) (שורש (2) -שורש (6)). לאחר מכן השתמש בנוסחת הזהות להבדל בין שני ריבועים [(a + b) (ab) = a^2-b^2] כדי לתרץ את המכנה, לפשט (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- זה חל גם על מכנים כמו 5 + sqrt (3) מכיוון שכל המספרים השלמים הם שורשים של מספרים שלמים אחרים. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- שיטה זו חלה גם על הוספת שורשים כגון sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). אם מקבצים אותם ל- (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) ומכפילים ב- (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), התשובה איננה בצורה רציונלית, אלא עדיין בשורש+b*(30) שבו a ו- b הם כבר מספרים רציונליים. לאחר מכן חזור על התהליך עם מצמידים a+b*sqrt (30) ו- (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) יהיה רציונלי. בעיקרו של דבר, אם אתה יכול להשתמש בטריק הזה כדי להסיר סימן שורש אחד במכנה, תוכל לחזור עליו פעמים רבות כדי להסיר את כל השורשים.
- ניתן להשתמש בשיטה זו גם למכנים המכילים שורש גבוה יותר, כגון השורש הרביעי של 3 או השורש השביעי של 9. הכפל את המונה והמכנה על ידי הצמד של המכנה. למרבה הצער, איננו יכולים להשיג את מצמד המכנה ישירות וקשה לעשות זאת. את התשובה נוכל למצוא בספר אלגברה על תורת המספרים, אבל לא אכנס לזה.
שלב 2. כעת המכנה נמצא בצורה רציונלית, אך המונה נראה בלאגן
עכשיו כל שעליכם לעשות הוא להכפיל אותו בצמוד של המכנה. קדימה והתרבו כפי שהיינו מכפילים פולינומים. בדוק אם ניתן להשמיט, לפשט או לשלב מונחים כלשהם, במידת האפשר.
שלב 3. אם המכנה הוא מספר שלם שלילי, הכפל את המונה והמכנה ב -1 כדי להפוך אותו לחיובי
טיפים
- אתה יכול לחפש באינטרנט אתרים שיכולים לעזור לפשט צורות שורש. פשוט הקלד את המשוואה עם סימן השורש, ולאחר לחיצה על Enter, התשובה תופיע.
- לשאלות פשוטות יותר, אינך יכול להשתמש בכל השלבים במאמר זה. לשאלות מורכבות יותר, ייתכן שיהיה עליך להשתמש במספר שלבים יותר מפעם אחת. השתמש בשלבים ה"פשוטים "כמה פעמים, ובדוק אם התשובה שלך מתאימה לקריטריונים לניסוח הסטנדרטי עליו דנו קודם לכן. אם התשובה שלך היא בנוסחה הסטנדרטית, סיימת; אך אם לא, תוכל לבדוק את אחד השלבים שלמעלה כדי לסייע לך לבצע זאת.
- רוב ההתייחסויות ל"נוסחה הסטנדרטית המומלצת "לצורת השורשים חלות גם על מספרים מורכבים (i = root (-1)). גם אם אמירה מכילה "i" במקום שורש, הימנע ממכנים שעדיין מכילים i ככל האפשר.
- חלק מההוראות במאמר זה מניחות שכל השורשים הם ריבועים. אותם עקרונות כלליים חלים על שורשי המעצמות העליונות, אם כי חלקים מסוימים (במיוחד רציונליזציה של המכנה) יכולים להיות די קשים לעבודה. תחליט בעצמך איזו צורה אתה רוצה, כגון sqr^3 (4) או sqr^3 (2)^2. (אני לא זוכר איזו צורה בדרך כלל מוצעת בספרי לימוד).
- חלק מההוראות במאמר זה משתמשות במילה "נוסחה סטנדרטית" לתיאור "צורה רגילה". ההבדל הוא שהנוסחה הסטנדרטית מקבלת רק את הטופס 1+sqrt (2) או sqrt (2) +1 ורואה בצורות האחרות כלא סטנדרטיות; צורה פשוטה מניחה שאתה, הקורא, חכם מספיק כדי לראות את "הדמיון" של שני המספרים הללו למרות שהם אינם זהים בכתב (פירוש 'אותו הדבר' במאפיין האריתמטי שלהם (תוספת קומוטיבית), לא במאפיין האלגברי שלהם (שורש (2) הוא השורש הלא שלילי של x^2-2)). אנו מקווים כי הקוראים יבינו את חוסר הזהירות הקלה בשימוש במינוח זה.
- אם אחד הרמזים נראה מעורפל או סותר, בצע את כל השלבים שהם חד משמעיים ועקביים, ולאחר מכן בחר את הצורה שאתה מעדיף.
