ניתן לפתור חלוקה בינארית בשיטת החלוקה הארוכה, שהיא שיטה שיכולה ללמד אותך את תהליך החלוקה בעצמך כמו גם ליצור תוכנות מחשב פשוטות. בנוסף, שיטות משלימות של חיסור איטרטיבי יכולות לספק גישות שאולי אינך מכיר, למרות שהן אינן נפוצות לתכנות. שפות מכונות משתמשות בדרך כלל באלגוריתמים של קירוב כדי להיות יעילים יותר, אך הדבר אינו מתואר במאמר זה.
שלב
שיטה 1 מתוך 2: שימוש בחלוקה ארוכה
שלב 1. למד מחדש חלוקה ארוכה עשרונית
אם מזמן לא השתמשת בחלוקה ארוכה במערכת המספרים העשרונית (בסיסית עשר), עיין שוב ביסודות באמצעות בעיה לדוגמה 172 חלקי 4. אחרת, דלג על שלב זה ועבור ישר לשלב הבא כדי לחקור תהליך דומה עם מספרים בינאריים.
- מוֹנֶה מחולק ב מְכַנֶה, והתוצאה היא מָנָה.
- השווה את המכנה עם המספר הראשון במונה. אם המכנה גדול יותר, המשך להוסיף מספרים למונה עד שהמכנה קטן יותר. (לדוגמה, אם אנו מחשבים 172 מחולקים ב -4, אנו משווים 4 עם 1, אנו יודעים ש -4 גדול מ -1, אז המשך להשוות 4 עם 17.)
- כתוב את הספרה הראשונה במנה מעל המספר האחרון ששימש בהשוואה. כאשר אנו משווים בין 4 ל -17, אנו רואים ש -4 מכוסה ב- 17 ארבע פעמים, ולכן אנו כותבים 4 כמספר הראשון של המנה, מעל 7.
- הכפל וחסר כדי לקבל את השאר. הכפל את המכנה במכנה, כלומר 4 × 4 = 16. כתוב 16 מתחת ל -17, ולאחר מכן הפחת את 17 ב -16 כדי לקבל את השאר, שהוא 1.
- חזור על התהליך. שוב אנו משווים את המכנה, שהוא 4, עם המספר הבא, שהוא 1, שמים לב ש -4 גדול מ -1, ואז "מפחיתים" את המספר הבא מהמניין, ממשיכים בהשוואה בין 4 ל -12. אנו רואים ש -4 מכוסה ב 12 שלוש פעמים ללא שארית, ולכן אנו כותבים 3 כמספר הבא של המנה. התשובה היא 43.
שלב 2. הכינו בעיית חלוקה ארוכה בינארית
ניקח 10101 11. כתוב כבעיה לחלוקה ארוכה, השתמש ב- 10101 כמניין ו -11 כמכנה. השאר מרחב מעליו כמקום לכתיבת המנה, ומתחתיו כמקום לכתיבת חישובים.
שלב 3. השווה את המכנה עם הספרה הראשונה של המונה
היא פועלת באותו אופן כמו חלוקה ארוכה בעשרונית, אך למעשה היא הרבה יותר קלה במערכת המספרים הבינארית. בבינארית יש רק שתי אפשרויות, או שלא ניתן לחלק את המספר במכנה (כלומר 0) או שהמכנה נכלל רק פעם אחת (כלומר 1):
11> 1, כך ש- 11 אינו "מכוסה על ידי" 1. כתוב את המספר 0 כמספר הראשון של המנה (מעל הספרה הראשונה של המונה)
שלב 4. עבדו על המספר הבא וחזרו עד שתקבלו את המספר 1
להלן השלבים הבאים בדוגמה שלנו:
- גזרו את המספר הבא מהמניין. 11> 10. כתוב 0 במנה.
- תוריד את המספר הבא. 11 <101. כתוב את המספר 1 במנה.
שלב 5. מצא את שאר החלוקה
כמו בדשרוני חלוקה ארוכה, הכפל את המספר שזה עתה קיבלנו (1) במכנה (11), ולאחר מכן כתוב את התוצאה מתחת למונה במקביל למספר שחישבנו זה עתה. במערכת המספרים הבינארית, אנו יכולים לסכם את התהליך הזה, כי 1 x המכנה תמיד זהה למכנה:
- כתוב את המכנה מתחת למניין. כאן, כתוב 11 במקביל לשלוש הספרות הראשונות של המונה (101).
- ספרו 101 - 11 כדי לקבל את שארית החלוקה, שהיא 10. ראה כיצד לחסר מספרים בינאריים אם עליך ללמוד מחדש.
שלב 6. חזור על הפעולה עד שהבעיה נפתרה
הפחת את המספר הבא מהמכנה לשאר החלוקה כדי לקבל 100. מאז 11 <100, כתוב 1 כמספר הבא בחטיבה. המשך החישוב כמו קודם:
- כתוב 11 מתחת ל -100 ולאחר מכן הפחת כדי לקבל 1.
- הורד את הספרה האחרונה של המונה ל -11.
- 11 = 11, אז כתוב 1 בתור הספרה האחרונה של המנה (התשובה).
- מכיוון שאין שארית, החישוב הושלם. התשובה היא 00111, או 111 בלבד.
שלב 7. הוסף נקודות רדיקס במידת הצורך
לפעמים, התוצאה של חישוב אינה מספר שלם. אם עדיין נותרה חלוקה לאחר השימוש בספרה האחרונה, הוסף "0" למונה ו "." למנה, כך שתוכל עדיין להפיק מספר אחד נוסף ולהמשיך את החישוב. חזור על הפעולה עד שתגיע לדיוק הרצוי, ולאחר מכן עגול את התוצאה. על הנייר, אתה יכול לעגל כלפי מטה על ידי הסרת ה -0 האחרון, או אם האחרון הוא 1, מחק אותו והוסף את המספר האחרון האחרון ל -1 בתכנות, עקוב אחר אחד מכמה אלגוריתמים סטנדרטיים של עיגול כדי להימנע משגיאות בעת המרת מספרים בינאריים. לעשרוני ולהיפך.
- חלוקה בינארית גורמת לרוב לחלקי שברים חוזרים ונשנים, לעתים קרובות יותר מאותו תהליך במערכת העשרונית.
- זה נקרא יותר בדרך כלל "נקודת הרדיקס", החלה על כל בסיס, מכיוון שהמונח "נקודה עשרונית" חל רק במערכת העשרונית.
שיטה 2 מתוך 2: שימוש בשיטה המשלימה
שלב 1. להבין את הרעיון הבסיסי
אחת הדרכים לפתור את בעיית החלוקה - על בסיס כלשהו - היא להמשיך ולחסוך את המכנה מהמונה, ואז את היתר, ולספור כמה פעמים ניתן לחזור על תהליך זה לפני קבלת מספר שלילי. הדוגמה הבאה היא חישוב בבסיס עשר, חישוב 26 7:
- 26 - 7 = 19 (הפחת פעם אחת)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. מספרים שליליים, אז קח צעד אחורה. התוצאה היא 3 והשאר נחלק ב 5. שימו לב ששיטה זו אינה מחשבת את החלק השברירי של התשובה.
שלב 2. למד כיצד להפחית בעזרת משלים
למרות שאתה יכול להשתמש בשיטה הנ ל במערכת בינארית בקלות, אנו יכולים גם לצמצם את השימוש בשיטה יעילה יותר, מה שחוסך זמן בעת תכנות המחשב לביצוע חלוקה בינארית. זוהי חיסור בשיטת המשלים בבינארית. להלן היסודות בחישוב 111 - 011 (ודא ששני המספרים הם באותו אורך):
- מצא את ההשלמה של המספר השני על ידי חיסור כל ספרה מ -1. שלב זה קל לביצוע במערכת הבינארית על ידי שינוי כל 1 ל -0 וכל 0 ל -1 בדוגמה זו, 011 ל -100.
- הוסף 1 לתוצאת החישוב: 100 + 1 = 101. מספר זה נקרא השלמה של שתיים, כך שניתן לפתור את החיסור כתוספת. בעיקרו של דבר, התוצאה של חישוב זה היא כאילו אנו מוסיפים מספרים שליליים ולא מפחיתים מספרים חיוביים, לאחר השלמת תהליך זה.
- הוסף את התוצאה למספר הראשון. כתוב ופתור את בעיית ההוספה: 111 + 101 = 1100.
- הסר מספרים נוספים. הסר את המספר הראשון מתוצאת החישוב כדי לקבל את התוצאה הסופית. 1100 → 100.
שלב 3. שלב את שני המושגים שתוארו לעיל
כעת אתה מכיר את שיטת החיסור לפתרון בעיות חלוקה, כמו גם את שיטת ההשלמה של השניים לפתרון בעיות חיסור. באמצעות השלבים שלהלן, תוכל לשלב את השניים לשיטה אחת לפתרון בעיית החלוקה. אם אתה רוצה, נסה לפתור את זה בעצמך לפני שתמשיך.
שלב 4. הפחת את המכנה מהמונה, והוסף את המשלים של השניים
בואו נעבוד על הבעיה 100011 000101. השלב הראשון הוא לפתור 100011 - 000101, באמצעות שיטת ההשלמה של השניים כדי להפוך את החישוב הזה לסכום:
- השלמה של שני של 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- הסר מספרים עודפים → 011110
שלב 5. הוסף 1 לתוצאת החלוקה
בתוכנת מחשב, כאן אתה מוסיף 1 למנה. על נייר, רשום הערות בפינות כדי שלא יתערבבו בעבודות אחרות. הצלחנו להפחית פעם אחת, כך שתוצאת החלוקה עד כה היא 1.
שלב 6. חזור על התהליך על ידי הפחתת המכנה משאר החישוב
התוצאה של החישוב האחרון שלנו היא שארית החלוקה לאחר שהמכנה "מכוסה" פעם אחת. המשך להוסיף את השלמה של המכנה על כל חזרה והסרת ספרות נוספות. הוסף 1 למנה בכל איטרציה, וחזור עד שתקבל את יתרת החישוב השווה או קטן מהמכנה:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (מנה 1 + 1 = 10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (מנה 10 + 1 = 11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 הוא פחות מ -101, אז אנחנו עוצרים כאן. התשובה לתהליך החלוקה הזה היא 111. בעוד ששאר החלוקה היא התוצאה הסופית של תהליך החיסור, במקרה זה 0 (אין שארית).
טיפים
- יש לקחת בחשבון הוראות להעלאה (הוספת 1), הורדה (חיסור 1) או הסרה מהערימה (ערימת פופ) לפני החלת מתמטיקה בינארית בערכת הוראות מכונה.
- שיטת ההשלמה של השניים לחיסור לא תעבוד אם למספרים מספר שונה של ספרות. כדי לתקן זאת, הוסף אפס לתחילת המספר עבור מספר קטן יותר.
- התעלם ממספרים שליליים במספרים בינאריים שליליים לפני החישוב, למעט כדי לקבוע אם התשובה חיובית או שלילית.
