וקטור הוא כמות פיזיקלית שיש לה גודל וגם כיוון (למשל מהירות, האצה ותזוזה), בניגוד לסולם המורכב מגודל בלבד (למשל מהירות, מרחק או אנרגיה). אם ניתן להוסיף סקלרים על ידי הוספת גדלים (למשל עבודה של 5 קג''ש ועוד 6 ק''ג שווה עבודה של 11 ק''ג), וקטורים קצת מסובכים להוסיף או להפחית. עיין בשלב 1 להלן כדי ללמוד כמה דרכים להוסיף או להפחית וקטורים.
שלב
שיטה 1 מתוך 3: הוספה וחיסור של וקטורים שמרכיביהם ידועים
שלב 1. רשום את הרכיבים הממדים של הווקטור בסימון וקטורי
מכיוון שלווקטורים יש גודל וכיוון, בדרך כלל ניתן לפרק אותם לחלקים המבוססים על הממדים x, y ו/או z. ממדים אלה נכתבים בדרך כלל בסימון דומה לתיאור נקודה במערכת קואורדינטות (למשל ואחרים). אם אתה מכיר את החלק הזה, הוספה או חיסור של וקטורים היא קלה מאוד, פשוט הוסף או הפחת את הקואורדינטות x, y ו- z שלהם.
- שימו לב אם ממדי הווקטור הם 1, 2 או 3. לפיכך, הווקטור יכול להכיל רכיבים x, x ו- y, או x, y ו- z. הדוגמה הבאה שלנו משתמשת בווקטור תלת מימדי, אך התהליך הוא כמו וקטור 1- או 2-ממדי.
- נניח שיש לנו שני וקטורים תלת מימדיים, וקטור A וקטור B. נוכל לכתוב וקטורים אלה בעזרת סימון וקטורי כגון A = ו- B =, כאשר a1 ו- a2 הם x רכיבים, b1 ו- b2 הם רכיבי y ו- c1 ו- c2 הם רכיבים z.
שלב 2. כדי להוסיף את שני הווקטורים, הוסף את מרכיביהם
אם שני המרכיבים של וקטור ידועים, ניתן להוסיף את הווקטורים על ידי הוספת הרכיבים של כל אחד מהם. במילים אחרות, הוסף את רכיב ה- x של הווקטור הראשון לרכיב ה- x של הווקטור השני, ועשה את אותו הדבר עבור y ו- z. התשובה שאתה מקבל מהוספת מרכיבי x, y ו- z של הווקטורים האלה היא רכיבי x, y ו- z של הווקטור החדש שלך.
- באופן כללי, A+B =.
- נוסיף שני וקטורים A ו- B. A = ו- B =. A + B =, או.
שלב 3. כדי להפחית את שני הווקטורים, להפחית את מרכיביהם
כפי שנדון מאוחר יותר, ניתן לחשוב על חיסור וקטור אחד משני כהוספת הווקטורים ההדדיים שלו. אם המרכיבים של שני הווקטורים ידועים, ניתן להפחית וקטור אחד משני על ידי הפחתת הרכיב הראשון מהרכיב השני (או על ידי הוספת המרכיבים השליליים של שניהם).
- באופן כללי, א-ב =
- נחסור שני וקטורים A ו- B. A = ו- B =. A - B =, או.
שיטה 2 מתוך 3: הוספה וחיסור עם תמונות באמצעות שיטת ראש וזנב
שלב 1. סמל את הווקטור על ידי ציורו בעזרת הראש והזנב
מכיוון שלווקטורים יש גודל וגם כיוון, אפשר לומר שיש להם זנב וראש. במילים אחרות, לווקטור יש נקודת התחלה ונקודת סיום המצביעה על כיוון הווקטור שמרחקו מנקודת ההתחלה שווה לגודל הווקטור. כשהוא מצויר, הווקטור לובש צורה של חץ. קצה החץ הוא ראש הווקטור וסוף קו הווקטור הוא הזנב.
אם אתה יוצר ציור וקטורי עם ממדים, יהיה עליך למדוד ולצייר את כל הפינות במדויק. הזווית הלא נכונה של התמונה תשפיע על התוצאה המתקבלת כאשר שני וקטורים מתווספים או מופחתים בשיטה זו
שלב 2. כדי להוסיף, לצייר או להזיז את הווקטור השני כך שהזנב יפגוש לראשו של הווקטור הראשון
זה נקרא שילוב וקטורים בין ראש לזנב. אם אתה רק מוסיף שני וקטורים, הנה מה שאתה צריך לעשות לפני מציאת הווקטור שהתקבל.
שים לב שהסדר שבו אתה מוסיף וקטורים לא משנה, בהנחה שאתה משתמש באותה נקודת התחלה. וקטור A + וקטור B = וקטור B + ולטור א
שלב 3. כדי להפחית, הוסף וקטור סימן שלילי
הפחתת וקטורים באמצעות תמונות היא פשוטה מאוד. הפוך את כיוון הווקטור, אך שמור על גודל זהה והוסף את ראש הזנב והזנב כרגיל. במילים אחרות, כדי להפחית וקטור, סובבו את הווקטור 180o ולהוסיף.
שלב 4. אם אתה מוסיף או מחסר יותר משני וקטורים, שלב את כל הווקטורים בסדר ראש לזנב
סדר המיזוג לא משנה. ניתן להשתמש בשיטה זו ללא קשר למספר הווקטורים.
שלב 5. צייר וקטור חדש מהזנב של הווקטור הראשון לראש הווקטור האחרון
בין אם אתה מוסיף/מפחית שני וקטורים או מאה, הווקטור המשתרע מנקודת ההתחלה הראשונית שלך (זנב הווקטור הראשון) לנקודת הסיום של הווקטור האחרון שלך (ראש הווקטור האחרון שלך) הוא הווקטור שהתקבל או סכום כל הווקטורים שלך. שים לב שהווקטור הזה זהה בדיוק לווקטור המתקבל על ידי חיבור כל רכיבי x, y ו/או z.
- אם אתה מצייר את כל הווקטורים שלך לגודל, על ידי מדידת כל הזוויות בצורה נכונה, אתה יכול לקבוע את גודל הווקטור שהתקבל על ידי מדידת האורך. ניתן גם למדוד את הזווית בין התוצאה לבין כל וקטור אופקית או אנכית כדי לקבוע את כיוונו.
- אם אינך מצייר את כל הווקטורים שלך לגודל, ייתכן שיהיה עליך לחשב את גודל התוצאה באמצעות טריגונומטריה. אולי חוקי הסינוס והקוסינוס יעזרו. אם מוסיפים יותר משני וקטורים, כדאי להוסיף את הווקטור הראשון בשני, ואז להוסיף את התוצאה של השני לשלישי וכן הלאה. עיין בפרקים הבאים למידע נוסף.
שלב 6. צייר את הווקטור שהתקבל בעזרת גודל וכיוונו
וקטור מוגדר על ידי אורכו וכיוונו. כאמור, בהנחה שציירת את הווקטור שלך במדויק, גודל הווקטור החדש שלך הוא אורכו והכיוון שלו הוא הזווית ביחס לכיוון האנכי או האופקי. השתמש בווקטורי היחידה שאתה מוסיף או מפחית כדי לקבוע את היחידות לגודל הווקטור שהתקבל.
לדוגמה, אם הווקטורים הנוספים מייצגים מהירות ב- ms-1, אז ניתן להגדיר את הווקטור שהתקבל כ "מהירות x ms-1 נגד y o לכיוון האופקי.
שיטה 3 מתוך 3: הוספה וחיסור של וקטורים על ידי ציון רכיבים ממדיים וקטוריים
שלב 1. השתמש בטריגונומטריה כדי לקבוע את מרכיבי הווקטור
כדי למצוא את מרכיבי וקטור, בדרך כלל עליך לדעת את גודלו וכיווןו ביחס לכיוון האופקי או האנכי ולהבין טריגונומטריה. בהנחה וקטור דו-ממדי, ראשית, חשבו על הווקטור שלכם כהיפוטנוזה של משולש ימני ששני צלעותיו מקבילות לכיווני x ו- y. ניתן לראות את שני הצדדים הללו כמרכיבים של וקטור ראש לזנב המצטברים ליצירת הווקטור שלך.
- אורכי שני הצדדים שווים לרכיבי x ו- y של הווקטור שלך וניתנים לחישוב באמצעות טריגונומטריה. אם x הוא גודל וקטורי, הצד הסמוך לזווית הווקטור (ביחס לכיוון האופקי, האנכי, ואחרים) הוא xcos (θ), ואילו הצד ההפוך הוא xsin (θ).
- חשוב מאוד גם לציין את כיוון הרכיבים שלך. אם הרכיב מצביע על קואורדינטות שליליות, הוא מקבל סימן שלילי. לדוגמה, במישור דו ממדי, אם רכיב מצביע שמאלה או מטה, הוא שלילי.
- לדוגמה, נניח שיש לנו וקטור בגודל 3 וכיוון 135o יחסית לרוחב. בעזרת מידע זה, אנו יכולים לקבוע כי רכיב x הוא 3 קוס (135) = - 2, 12 ורכיב y הוא 3sin (135) = 2, 12
שלב 2. הוסף או הפחת שני וקטורים קשורים או יותר
לאחר שמצאת את הרכיבים של כל הווקטורים שלך, הוסף אותם כדי למצוא את מרכיבי הווקטור שהתקבל. ראשית, צרו את כל גודל המרכיבים האופקיים (המקבילים לכיוון x). בנפרד, צרו את כל גודל המרכיבים האנכיים (המקבילים לכיוון y). אם רכיב שלילי (-), גודלו מופחת, לא מתווסף. התשובה שאתה מקבל היא המרכיב של הווקטור שהתקבל.
לדוגמה, הווקטור מהשלב הקודם,, מתווסף לווקטור. במקרה זה, הווקטור המתקבל הופך או
שלב 3. חשב את גודל הווקטור שהתקבל באמצעות משפט פיתגורס
משפט פיתגורס ג2= א2+ב2, משמש לאיתור אורך הצד של משולש ימני. מכיוון שהמשולש שנוצר על ידי הווקטור שנוצר ומרכיביו הוא משולש ימני, אנו יכולים להשתמש בו כדי למצוא את אורך וגדל הווקטור. עם c כגודל הווקטור המתקבל, שאתה מחפש, נניח a הוא גודל רכיב x ו- b הוא גודל רכיב y. לפתור באמצעות אלגברה.
-
כדי למצוא את גודל הווקטור שאת מרכיביו חיפשנו בשלב הקודם, השתמש במשפט פיתגורס. פתור כדלקמן:
- ג2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- ג2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
שלב 4. חשב את הכיוון המתקבל באמצעות הפונקציה משיק
לבסוף, מצא את הווקטור המתקבל של הכיוון. השתמש בנוסחה = שיזוף-1(b/a), היכן גודל הזווית שנוצרת בכיוון x או אופקי, b הוא גודל רכיב y ו- a הוא גודל רכיב x.
-
כדי למצוא את כיוון הווקטור שלנו, השתמש = שזוף-1(תוֹאַר רִאשׁוֹן).
- = שיזוף-1(-6, 88/3, 66)
- = שיזוף-1(-1, 88)
- = -61, 99o
שלב 5. צייר את הווקטור שהתקבל בהתאם לגודלו ולכיוונו
כפי שנכתב לעיל, הווקטורים מוגדרים על פי גודלם וכיוונם. הקפד להשתמש ביחידות המתאימות לגודל הווקטור שלך.
לדוגמה, אם הדוגמה הווקטורית שלנו מייצגת כוח (בניוטון), נוכל לכתוב אותו "כוח 7.79 N על -61.99 o לרוחב ".
טיפים
- וקטור שונה מגדול.
- ניתן להוסיף או להפחית וקטורים בעלי אותו כיוון על ידי הוספה או חיסור של גודלם. אם אתה לסיכום שני וקטורים הפוכים, גודלם מופחת, לא מתווסף.
- ניתן להוסיף או לחסר וקטורים המיוצגים בצורה x i + y j + z k על ידי הוספה או חיסור של המקדמים של שלושת וקטורי היחידה. התשובה היא גם בצורה של i, j, ו- k.
- אתה יכול למצוא את הגודל של וקטור תלת מימדי באמצעות הנוסחה א2= ב2+ג2+ד2 כאשר a הוא גודל הווקטור, ו- b, c ו- d הם המרכיבים של כל כיוון.
- ניתן להוסיף ולחסור וקטורים של עמודות על ידי הוספה או חיסור של הערכים של כל שורה.
