כיצד לפתור בעיות שורש מרובע (עם תמונות)

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-15 08:15

למרות שזה עשוי להיראות מרתיע לפעמים, בעיית השורש הריבועי היא למעשה לא כל כך קשה לפתור. בדרך כלל ניתן לפתור בעיות פשוטות של שורש ריבועי באותה קלות כמו בעיות כפל בסיסיות וחלוקה. לשאלות מורכבות יותר, זה דורש קצת מאמץ נוסף. אך בגישה הנכונה ניתן לפתור כל בעיה קשה. באמצעות מאמר זה נעזור לך לפתור בעיות שורש מרובע בכמה צעדים פשוטים.

שלב

חלק 1 מתוך 3: הבנת ריבועים ושורשים מרובעים

שלב 1. הריבוע הוא המספר המוכפל במספר עצמו

כדי להבין את השורש הריבועי, טוב להבין קודם כל את המשמעות של הריבוע. במילים פשוטות, ריבוע הוא מספר מוכפל במספר עצמו. לדוגמה, 3 בריבוע הוא 3 כפול 3 = 9 ו- 9 בריבוע הוא 9 כפול 9 = 81. הריבוע מיוצג על ידי 2 הקטנים בפינה השמאלית העליונה של המספר בריבוע - כך: 3², 9², 100², וכו.

נסה לרבוע מספרים אחרים כדי לבדוק מושג זה. זכור, ריבוע מספר הוא הכפלת מספר בפני עצמו. אתה יכול אפילו לרבוע מספרים שליליים. התוצאה תמיד תהיה מספר חיובי. לדוגמה, -8² = -8 × -8 = 64.

שלב 2. השורש הריבועי הוא הדדי של הריבוע

הסמל לשורש הריבועי (√, הידוע גם בשם הסמל "הרדיקלי") הוא בעצם ההיפך מהסמל ². כאשר אתה מוצא רדיקל, שאל את עצמך: איזה מספר, אם הוא בריבוע, יביא למספר בתוך הרדיקל? לדוגמה, אם אתה מסתכל על √ (9), מצא את המספר שכאשר בריבוע הוא תשע. לפיכך, התשובה היא "שלוש", מכיוון ש -3² = 9.

כדוגמה נוספת, בואו ננסה למצוא את השורש הריבועי של 25 (√ (25)). כלומר, אנו מחפשים מספר שכאשר בריבוע, התוצאה היא 25. כי 5² = 5 × 5 = 25, ואז (25) =

שלב 5..
השורש הריבועי יכול להיחשב גם כ"מבטל "את הריבוע. לדוגמה, אם אנו רוצים למצוא (64), השורש הריבועי של 64, אז חשבו על 64 כ- 8². מכיוון שסמל השורש הריבועי בעצם "שולל" את סמל הריבוע, לכן (64) = (8²) =

שלב 8..

שלב 3. דע את ההבדל בין ריבועים מושלמים לבלתי מושלמים

עד כה, תוצאות חישובי השורש הריבועי שלנו היו מספרים שלמים. השאלות שתתקלו בהן מאוחר יותר לא יהיו קלות כל כך, יהיו שאלות עם תשובות למספר עשרוני עם כמה ספרות מאחורי הפסיק. מספרים שמעוגלים לאחר ריבוע (כלומר לא מספרים שבוריים או עשרוניים) מכונים גם "ריבועים מושלמים". כל הדוגמאות הקודמות (9, 25 ו- 64) הן ריבועים מושלמים מכיוון שאם הם בריבוע, התוצאה היא מספר שלם (3, 5 ו -8).

מצד שני, מספרים שאינם מעוגלים לאחר הריבוע הם "ריבועים לא מושלמים". בדרך כלל, לאחר הריבוע התוצאה היא מספר שברירי או עשרוני. לפעמים אפילו המספרים נראים מסובכים מאוד, כמו (13) = 3, 605551275464…

שלב 4. שינן את ריבוע המספרים 1-12

כפי שאתה כבר יודע, ריבוע מספר ריבוע מושלם הוא קל מאוד. שינון הריבועים של המספרים 1-12 יכול להיות שימושי מאוד מכיוון שמספרים אלה יופיעו רבות בבעיה. כך תחסכו זמן בזמן העבודה על השאלות. 12 המספרים הראשונים בריבוע הם::

1² = 1 × 1 =

שלב 1.
2² = 2 × 2 =

שלב 4.
3² = 3 × 3 =

שלב 9.
4² = 4 × 4 =

שלב 16.
5² = 5 × 5 =

שלב 25.
6² = 6 × 6 = 36
7² = 7 × 7 = 49
8² = 8 × 8 = 64
9² = 9 × 9 = 81
10² = 10 × 10 = 100
11² = 11 × 11 = 121
12² = 12 × 12 = 144

שלב 5. פשט את השורש הריבועי על ידי הסרת הריבועים המושלמים

מציאת השורש הריבועי של מספר מרובע לא מושלם יכולה להיות מסובכת, במיוחד אם אינך משתמש במחשבון. עם זאת, ניתן לפשט את המספר שיש לריבוע כדי להקל על החישוב. לשם כך, פשוט הפרד את המספר בתוך הרדיקל למספר גורמים, ולאחר מכן הסר את השורש הריבועי של המספרים הריבועיים המושלמים וכתוב את התשובה מחוץ לרדיקל. שיטה זו די קלה לביצוע - כדי לתת לך הבנה טובה יותר, הנה הסבר נוסף:

נניח שאנחנו רוצים לחשב את השורש הריבועי של 900. אז, פשוט פיצול 900 לגורמים שלו. "גורמים" הם מספרים שניתן להכפיל אותם יחד כדי ליצור מספר אחר. לדוגמה, ניתן להשיג את המספר 6 על ידי הכפלה ו- 1 × 6 ו -2 × 3, כך שהגורמים של 6 הם 1, 2, 3 ו- 6.
מתוך עיקרון זה בחשבון, בואו נחלק 900 לגורמים שלו. ראשית, אנו כותבים 900 כ- 9 × 100. מכיוון ש- 9 הוא ריבוע מושלם, אנו יכולים לקחת את השורש המרובע של 100 בנפרד. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). במילים אחרות, (900) = 3√(100).
אנו יכולים לפשט זאת עוד יותר על ידי הפרדת 100 לגורמים שלה, כלומר 25 ו- 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. לכן ניתן לחשב (900) = 3 (10) =

שלב 30..

שלב 6. השתמש במספר דמיוני לשורש הריבועי של מספר שלילי

תחשוב, איזה מספר אם בריבוע התוצאה היא -16? התשובה, לא. כל המספרים בריבוע התוצאה תמיד חיובית, כיוון שהיא שלילית (-), כשהיא מוכפלת בשלילית התוצאה חיובית (+). לכן, כדי לרבוע מספר שלילי, עלינו להחליף את המספר השלילי במספר דמיוני (בדרך כלל בצורת אותיות או סמלים). לדוגמה, המשתנה "i" משמש בדרך כלל לשורש הריבועי של -1. מספר דמיוני נמצא תמיד בשורש הריבועי של מספר שלילי.

יש לציין שלמרות שמספרים דמיוניים לעולם אינם מיוצגים במספרים, עדיין ניתן להתייחס אליהם כאל מספרים בדרכים שונות. לדוגמה, ניתן לרבוע את השורש הריבועי של מספר שלילי בכדי להסיר את השורש הריבועי. לדוגמה, אני² = - 1

חלק 2 מתוך 3: השתמש באלגוריתם בסגנון חטיבה ארוכה

שלב 1. פתור בעיות שורש מרובע כמו בעיות חלוקה ארוכה

למרות שניתן לפתור בעיות של שורש ריבועי זמן רב וקשה ללא מחשבון. לשם כך נשתמש בשיטה (או אלגוריתם) הדומה לחלוקת מחסנית ארוכה.

התחל בכתיבת בעיית השורש הריבועי כפי שהיית עושה בעיית חלוקה ארוכה. כבעיה לדוגמה, מצא את השורש של 6, 45, שאינו מספר שלם. ראשית, אנו כותבים את הסמל הרדיקלי (√), ולאחר מכן מתחתיו אנו כותבים את המספר שאנו רוצים לקחת את הריבוע. לאחר מכן, צייר קו מעל המספרים, בדיוק כמו חלוקת ערימה ארוכה. כעת, סמל "√" נראה כאילו יש לו זנב עם המספר 6.45 בתחתית.
אנו נכתוב את המספרים מעל הבעיה, לכן הקפד להשאיר מקום ריק.

שלב 2. מקבצים את הספרות של המספר לזוגות

ראשית, קבצו את הספרות של המספר מתחת לרדיקל לזוגות, החל מהנקודה העשרונית. צור סוג של סמן (נקודה, פסיק, קו וכו ') בין זוגות למעקב קל.

בבעיה לדוגמה, 6, 45 יחולקו ל- 6-, 45-00. זכור כי ישנן מספרים "שנותרו" בצד שמאל - זו לא בעיה.

שלב 3. מצא את המספר הגדול ביותר שערכו המרובע פחות או שווה לקבוצה הראשונה

התחל עם המספר הראשון בקבוצה משמאל. בחר את המספר הגדול ביותר שערכו המרובע פחות או שווה בקבוצה. לדוגמה, אם הקבוצה היא 37, בחר 6 כי 6² = 36 <37 אבל 7² = 49> 37. כתוב מספר זה מעל הקבוצה הראשונה. מספר זה הוא הספרה הראשונה של התשובה שלך.

בבעיה לדוגמה, הקבוצה הראשונה של 6-, 45-00 היא 6. המספר הגדול ביותר שהוא פחות או שווה ל -6 כאשר בריבוע הוא

שלב 2. - 2² = 4. כתוב את המספר "2" מעל 6 והזנב הוא רדיקל.

שלב 4. הכפל את המספר שכתבת, הורד אותו ולאחר מכן הפחת אותו

קח את הספרה הראשונה של התשובה שלך (הכתובה מעל הרדיקל) והכפל אותה. כתוב את התשובה מתחת לקבוצה הראשונה וחסר כדי למצוא את ההבדל. שחרר את הקבוצה הבאה מימין להפרש שחישבת זה עתה. לבסוף, כתוב את הספרה האחרונה של הכפלת הספרה הראשונה של התשובה שלך בצד שמאל והשאיר רווח ריק מימין.

בבעיה לדוגמה, המספר שהוכפל הוא 2 (הספרה הראשונה של התשובה הקודמת). 2 × 2 = 4. לאחר מכן, הפחית 4 על 6 (מהקבוצה הראשונה). 6 - 4 התוצאה היא 2. לאחר מכן, הורד את הקבוצה הבאה (45) ונקבל 245. לבסוף, כתוב שוב את המספר 4 בצד שמאל והשאיר מעט רווח מימין, כך: 4_

שלב 5. מלא את החלל הריק

הוסף את הספרות מימין למספר שכתבת משמאל. בחר את הספרה שנותנת את הערך הגדול ביותר כאשר היא מוכפלת במספר חדש זה, אך עדיין קטנה או שווה ל"מספר הנגזר ". לדוגמה, אם "המספר הנגזר" הוא 1700 והמספר משמאלך הוא 40_, המספר שיש להזין הוא "4" מכיוון ש 404 × 4 = 1616 <1700, בעוד 405 × 5 = 2025. המספר שנמצא ב- שלב זה הוא הספרה השנייה של התשובה שלך, אז כתוב אותה מעל הסמל הרדיקלי.

בבעיה לדוגמה, נחפש את המספר שליד 4_ × _ שהתשובה שלו היא המספר הגדול ביותר אך הוא קטן או שווה ל 245. התשובה היא

שלב 5.. 45 × 5 = 225, ואילו 46 × 6 = 276.

שלב 6. המשך להשתמש במספרי "רווח ריק" כדי למצוא את התשובה שלך

המשך בתבנית החלוקה הערימה הארוכה עד שההפרש בין החיסורים של המספרים המתקבלים הוא אפס, או שהתקבל מספר מדויק למדי. כשתסיים, המספרים שבהם מילאת את החסר בכל שלב (בתוספת המספר הראשון שבו השתמשת) מהווים כל ספרה של התשובה שלך.

בבעיה לדוגמה, חיסור 245 על 220 כדי לקבל 20. לאחר מכן, נוריד את קבוצת הספרות הבאה, 00, ונקבל 2000. נכפיל את המספר מעל הסמל הרדיקלי, ונקבל 25 × 2 = 50. למלא בחסר על 50_ × _ =/<2, 000, נקבל את המספר

שלב 3.. עכשיו, יש לנו "253" מעל הסמל הרדיקלי - חזור על התהליך הזה שוב וקבל 9 בספרה הבאה.

שלב 7. הסר את הסימן העשרוני מהמקור

כדי לקבל את התשובה הסופית, הצב את הנקודה העשרונית במיקום הנכון. זה קל - פשוט שים את הנקודה העשרונית בקנה אחד עם הנקודה העשרונית מתחת לסמל הרדיקלי. לדוגמה, המספר מתחת לרדיקל הוא 49, 8, לכן יש לשים נקודה עשרונית בין המספרים מעל 8 ו- 9.

בבעיה לדוגמה, אם המספר מתחת לרדיקל הוא 6, 45, אז הנקודה העשרונית תהיה בקו בין הספרות 2 ל -5. המשמעות היא שהתשובה הסופית היא 2, 539.

חלק 3 מתוך 3: הערך מהיר של ריבועים לא מושלמים

שלב 1. מצא את הריבוע הלא מושלם באמצעות קירוב

לאחר שתשנן ריבועים מושלמים, מציאת ריבועים לא מושלמים תהיה הרבה יותר קלה. הטריק הוא למצוא ריבוע מושלם לפני ואחרי המספר שאתה מחפש. לאחר מכן, קבע איזה משני הריבועים המושלמים הכי קרוב למספר שאתה מחפש.

לדוגמה, אנו רוצים למצוא את השורש הריבועי של 40. המספר המרובע המושלם לפני ואחרי 40 הוא 6² ו -7², שהוא 36 ו- 49. מכיוון ש- 40 גדול מ- 36 ופחות מ- 49, השורש הריבועי של 40 חייב להיות בין 6 ל- 7. המספר 40 קרוב יותר ל- 36 מ- 49, ולכן השורש הריבועי של 40 קרוב יותר ל- 6. להלן מספר שלבים למציאת תשובה מדויקת.

שלב 2. אומד את השורש הריבועי לספרה אחת אחרי הפסיק

כאשר קבעת שני מספרים מרובעים מושלמים לפני ואחרי המספר שאתה מחפש, השאר הוא תהליך של מציאת המספר מאחורי הפסיק הקרוב ביותר לתשובה. התחל עם המספר המשוער של ספרה אחת אחרי הפסיק. תהליך זה ימשיך לחזור עד שתקבל תשובה בדיוק הרצוי.

בבעיה לדוגמה, הקירוב הסביר של השורש הריבועי של 40 הוא 6, 4, כי התשובה קרובה ככל הנראה ל -6 מ -7.

שלב 3. הכפל את המספר המשוער שלך במספר עצמו

במילים אחרות, ריבוע את המספר המשוער שלך. אם יש לך מזל, התוצאה תהיה המספר בבעיה. אם לא, המשך להוסיף או להפחית את המספרים אחרי הפסיק עד שתמצא את הריבוע הקרוב למספר בבעיה.

הכפל 6, 4 על 6, 4 כדי לקבל 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, שהוא מעט מעל 40.
מכיוון שהניסוי הראשוני היה מיותר, הפחת את הקירוב שלך במקום עשרוני אחד, שהוא 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. תוצאה זו נמצאת מעט מתחת למספר הבעיה. המשמעות היא שהשורש הריבועי של 40 הוא בין 6, 3 ל -6, 4. ואז, מכיוון ש- 39.69 קרוב יותר ל -40, השורש הריבועי של 40 קרוב גם ל -6, 3.

שלב 4. קדימה חיזוי לפי הצורך

השתמש בתשובתך אם אתה חושב שהיא מדויקת מספיק. אבל אם לא, פשוט המשך בתבנית המשוערת למעלה עד שתמצא תשובה עם שלוש או ארבע ספרות אחרי הפסיק - בכל מקרה, עד שתגיע לרמת הדיוק שאתה רוצה.