נגזרים יכולים לשמש להפקת מאפיינים שימושיים מתוך גרף, כגון ערכי מקסימום, מינימום, שיא, שוקת ושיפוע. אתה יכול אפילו להשתמש בו לשרטוט משוואות מורכבות ללא מחשבון גרפים! למרבה הצער, העבודה על נגזרות היא לעיתים קרובות מייגעת, אך מאמר זה יעזור לך בכמה טיפים וטריקים.
שלב
שלב 1. להבין את הסימון הנגזר
שני הסימונים הבאים הם הנפוצים ביותר, אם כי ניתן למצוא רבים אחרים כאן בויקיפדיה.
- לייבניז סימון סימן זה הוא הסימון הנפוץ ביותר כאשר המשוואה כוללת y ו- x. dy/dx פירושו המילולי של הנגזרת של y ביחס ל- x. זה עשוי להיות שימושי לחשוב על זה כ y/Δx לערכים שונים מאוד של x ו- y. הסבר זה מוביל להגדרת הגבול הנגזרת: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. בעת שימוש בסימון זה עבור הנגזרת השנייה, עליך לכתוב: ד2y/dx2.
- ציון לגראנז 'הנגזרת של הפונקציה f כתובה גם כ f' (x). סימון זה קורא f עם מבטא x. סימון זה קצר מהסימון של ליבניז, והוא מועיל כשרואים נגזרות כפונקציות. כדי ליצור דרגת נגזרת גדולה יותר, פשוט הוסף 'ל- f, כך שהנגזרת השנייה תהיה f' (x).
שלב 2. להבין את משמעות הנגזרת ואת הסיבות לירידה
ראשית, כדי למצוא את השיפוע של גרף לינארי, שתי נקודות בקו נלקחות, והקואורדינטות שלהם נכנסות למשוואה (y2 - י1)/(איקס2 - איקס1). עם זאת, ניתן להשתמש בו רק עבור גרפים ליניאריים. עבור משוואות ריבועיות ומעלה, הקו יהיה עקומה, כך שמציאת ההבדל בין שתי נקודות אינה מדויקת במיוחד. כדי למצוא את שיפוע המשיק בגרף עקומות, נלקחות שתי נקודות, ומוכנסות למשוואה הכללית כדי למצוא את שיפוע גרף העקומה: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx מציין דלתא x, שהיא ההבדל בין שני קואורדינטות x בשתי נקודות של הגרף. שים לב שמשוואה זו זהה ל (y2 - י1)/(איקס2 - איקס1), רק בצורה אחרת. מכיוון שהיה ידוע שהתוצאות יהיו לא מדויקות, הוחלה גישה עקיפה. כדי למצוא את שיפוע המשיק ב- (x, f (x)), dx חייב להיות קרוב ל -0, כך ששתי הנקודות המצוירות מתמזגות לנקודה אחת. עם זאת, לא ניתן לחלק 0, כך שברגע שהזנת את ערכי שתי הנקודות, יהיה עליך להשתמש בפקטורינג ובשיטות אחרות כדי להסיר dx מתחתית המשוואה. לאחר שעשית זאת, בצע dx 0 וסיימת. זהו שיפוע המשיק ב- (x, f (x)). הנגזרת של משוואה היא המשוואה הכללית למציאת השיפוע של כל משיק בגרף. זה אולי נראה מסובך מאוד, אך להלן מספר דוגמאות שיעזרו להסביר כיצד להשיג את הנגזרת.
שיטה 1 מתוך 4: נגזרות מפורשות
שלב 1. השתמש בנגזרת מפורשת אם המשוואה שלך כבר כוללת y בצד אחד
שלב 2. חבר את המשוואה למשוואה [f (x + dx) - f (x)]/dx
לדוגמה, אם המשוואה היא y = x2הנגזרת תהיה [(x + dx)2 - איקס2]/dx.
שלב 3. הרחב והסר dx ליצירת המשוואה [dx (2x + dx)]/dx
עכשיו, אתה יכול להטיל שני dx למעלה ולמטה. התוצאה היא 2x + dx, וכאשר dx מתקרב לאפס, הנגזרת היא 2x. המשמעות היא שהשיפוע של כל משיק של הגרף y = x2 הוא 2x. פשוט הזן את ערך x עבור הנקודה שאליה ברצונך למצוא את המדרון.
שלב 4. למד דפוסים להפקת משוואות דומות
הנה כמה דוגמאות.
- כל מעריך הוא הכוח כפול הערך, המוגדל לכוח פחות מ 1. לדוגמה, הנגזרת של x5 הוא 5x4, והנגזרת של x3, 5 iis3, 5x2, 5. אם יש כבר מספר מול x, פשוט הכפל אותו בכוח. למשל הנגזרת של 3x4 הוא 12x3.
- הנגזרת של כל קבוע היא אפס. אז הנגזרת של 8 היא 0.
- נגזרת הסכום היא סכום הנגזרות המתאימות. לדוגמה, הנגזרת של x3 + 3x2 הוא 3x2 + 6x.
- הנגזרת של המוצר היא הגורם הראשון כפול הנגזרת של הגורם השני בתוספת הגורם השני כנגזרת של הגורם הראשון. לדוגמה, הנגזרת של x3(2x + 1) הוא x3(2) + (2x + 1) 3x2, ששווה ל 8x3 + 3x2.
- הנגזרת של המנה (נניח, f/g) היא [g (נגזרת של f) - f (נגזרת של g)]/g2. לדוגמה, הנגזרת של (x2 + 2x - 21)/(x - 3) הוא (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
שיטה 2 מתוך 4: נגזרות מרומזות
שלב 1. השתמש בנגזרות מרומזות אם לא ניתן לכתוב את המשוואה שלך עם y בצד אחד
למעשה, אם כתבת y בצד אחד, חישוב dy/dx יהיה מייגע. להלן דוגמא כיצד תוכל לפתור משוואות מסוג זה.
שלב 2. בדוגמה זו, x2y + 2y3 = 3x + 2y, החלף y ב- f (x), כך שתזכור ש- y היא למעשה פונקציה.
המשוואה אז הופכת ל- x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
שלב 3. כדי למצוא את הנגזרת של משוואה זו, נגזרו משני צידי המשוואה ביחס ל- x
המשוואה אז הופכת ל- x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
שלב 4. החלף את f (x) ב- y שוב
היזהר לא להחליף f '(x), השונה מ- f (x).
שלב 5. מצא את f '(x)
התשובה לדוגמה זו הופכת (3 - 2xy)/(x2 + 6y2 - 2).
שיטה 3 מתוך 4: נגזרות מסדר גבוה יותר
שלב 1. גזירת פונקציה של סדר גבוה יותר פירושה שאתה מסיק את הנגזרת (לסדר 2)
לדוגמה, אם הבעיה מבקשת ממך להוציא צו שלישי, פשוט קח את הנגזרת של הנגזרת של הנגזרת. עבור כמה משוואות, הנגזרת מסדר גבוה תהיה 0.
שיטה 4 מתוך 4: כלל השרשרת
שלב 1. אם y הוא פונקציה דיפרנציאלית של z, ו- z הוא פונקציה דיפרנציאלית של x, y הוא פונקציה מורכבת של x, והנגזרת של y ביחס ל- x (dy/dx) היא (dy/du)* (du/dx)
כלל השרשרת יכול להיות גם שילוב של משוואות כוח, כך: (2x4 - איקס)3. כדי למצוא את הנגזרת, פשוט חשבו על זה כמו כלל הכפל. הכפל את המשוואה בכוח והפחת ב- 1 לכוח. לאחר מכן, הכפל את המשוואה בנגזרת של המשוואה בסוגריים המעלה את הכוח (במקרה זה, 2x^4 - x). התשובה לשאלה זו היא 3 (2x4 - איקס)2(8x3 - 1).
טיפים
- בכל פעם שאתה רואה בעיה קשה לפתרון, אל תדאג. פשוט נסה לחלק אותו לכמה שיותר חלקים קטנים יותר על ידי יישום כללי הכפל, המנה וכו '. לאחר מכן, הורד כל חלק.
- התאמן עם כלל הכפל, כלל המנה, כלל השרשרת, ובעיקר נגזרות מרומזות, כיוון שכללים אלה הרבה יותר קשים בחשבון.
- הבין היטב את המחשבון שלך; נסה את הפונקציות השונות במחשבון שלך כדי ללמוד כיצד להשתמש בהן. זה מאוד שימושי לדעת כיצד להשתמש במשיקים ופונקציות נגזרות במחשבון שלך אם הם זמינים.
- זכור את הנגזרות הטריגונומטריות הבסיסיות וכיצד להשתמש בהן.
