3 דרכים לחישוב מהירות מיידית

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-16 19:28

מהירות מוגדרת המהירות של אובייקט בכיוון מסוים. במצבים רבים, כדי למצוא מהירות, אנו יכולים להשתמש במשוואה v = s/t, כאשר v שווה למהירות, s שווה למרחק הכולל שהאובייקט זז ממיקומו הראשוני, ו- t שווה לזמן. עם זאת, שיטה זו נותנת רק את ערך המהירות ה"ממוצע "של האובייקט על פני העקירה שלו. באמצעות חשבון, אתה יכול לחשב את מהירותו של אובייקט בכל נקודה לאורך העקירה שלו. ערך זה נקרא "מהירות מיידית" וניתן לחשבו באמצעות המשוואה v = (ds)/(dt), או במילים אחרות, היא הנגזרת של המשוואה למהירות הממוצע של האובייקט.

שלב

שיטה 1 מתוך 3: חישוב מהירות מיידית

שלב 1. התחל עם המשוואה למהירות העקירה של האובייקט

כדי לקבל את ערך המהירות המיידית של אובייקט, תחילה עלינו לקבל משוואה המתארת את מיקומו (מבחינת התזוזה שלו) בנקודת זמן נתונה. המשמעות היא שהמשוואה חייבת להיות בעלת משתנה ש (העומד לבד) בצד אחד, ו t מצד שני (אך לא בהכרח עצמאי), כך:

s = -1.5t²+10t+4

• במשוואה המשתנים הם:

  עקירה = ש. זהו המרחק שעובר האובייקט מנקודת ההתחלה שלו. לדוגמה, אם עצם נוסע 10 מטרים קדימה ו -7 מטרים אחורה, אזי המרחק הכולל שעבר הוא 10 - 7 = 3 מטר (לא 10 + 7 = 17 מטר).

  זמן = t. משתנה זה מסביר את עצמו. בדרך כלל מבוטא בשניות. # קח את הנגזרת של המשוואה. הנגזרת של משוואה היא משוואה נוספת שיכולה לתת ערך המדרון מנקודה מסוימת. כדי למצוא את הנגזרת של הנוסחה לתזוזה של אובייקט, גזרו את הפונקציה באמצעות הכלל הכללי הבא: אם y = a*x , נגזרת = a*n*x^n-1. כלל זה חל על כל רכיב שנמצא בצד ה" t "של המשוואה.

  

• במילים אחרות, התחל בירידה בצד ה" t "של המשוואה משמאל לימין. בכל פעם שאתה מגיע לערך "t", הפחת את 1 מערך המעריך וכפל את כולו במעריך המקורי. כל הקבועים (משתנים שאינם מכילים "t") יאבדו מכיוון שהם מוכפלים ב- 0. תהליך זה אינו קשה כפי שניתן לחשוב, בואו נגזור את המשוואה בשלב למעלה כדוגמה:

s = -1.5t²+10t+4

(2) -1.5 ט^(2-1)+ (1) 10t^{1 - 1} + (0) 4t⁰

-3t¹ + 10 ט⁰

- 3t + 10

שלב 2. החלף את המשתנה "s" ב- "ds/dt

"כדי להראות שהמשוואה החדשה שלך היא הנגזרת של המשוואה הקודמת, החלף את" s "ב-" ds/dt ". טכנית, פירוש סימון זה הוא" נגזרת של s ביחס ל- t. "דרך פשוטה יותר להבין זאת היא ש- ds /dt הוא ערך השיפוע (שיפוע) בכל נקודה במשוואה הראשונה, למשל, כדי לקבוע את שיפוע קו שנמשך מהמשוואה s = -1.5t² + 10t + 4 ב t = 5, אנו יכולים לחבר את הערך "5" למשוואה הנגזרת.

• בדוגמה המשמשת, המשוואה הנגזרת הראשונה תיראה כעת כך:

ds/sec = -3t + 10

שלב 3. חבר את הערך של t למשוואה החדשה כדי לקבל את ערך המהירות המיידי

עכשיו שיש לך את המשוואה הנגזרת, קל למצוא את המהירות המיידית בכל נקודה. כל שעליך לעשות הוא לבחור ערך עבור t ולחבר אותו למשוואת הנגזרת שלך. לדוגמה, אם אתה רוצה למצוא את המהירות המיידית ב- t = 5, אתה יכול להחליף את הערך של t ב- "5" במשוואת הנגזרת ds/dt = -3 + 10. ואז לפתור את המשוואה כך:

ds/sec = -3t + 10

ds/sec = -3 (5) + 10

ds/sec = -15 + 10 = - 5 מטר/שנייה

שים לב כי היחידה המשמשת למעלה היא "מטר/שנייה". מכיוון שמה שאנו מחשבים הוא תזוזה במטרים וזמן בשניות (שניות) ומהירות בכלל היא תזוזה בזמן מסוים, יחידה זו מתאימה לשימוש

שיטה 2 מתוך 3: הערכה גרפית של מהירות מיידית

שלב 1. צייר גרף של עקירת האובייקט לאורך זמן

בחלק למעלה, הנגזרת מוזכרת כנוסחה למציאת השיפוע בנקודה נתונה למשוואה שאתה מסיק. למעשה, אם אתה מייצג את תזוזה של אובייקט כקו על גרף, "שיפוע הקו בכל הנקודות שווה לערך מהירותו המיידית בנקודה זו."

• כדי לתאר את העקירה של אובייקט, השתמש ב- x כדי לייצג את הזמן ו- y כדי לייצג את התזוזה. לאחר מכן צייר את הנקודות, חבר את הערך של t למשוואה שלך, ובכך קיבל את הערך של s עבור הגרף שלך, סמן t, s בתרשים כ (x, y).
• שים לב שהגרף שלך יכול להשתרע מתחת לציר ה- x. אם הקו המייצג את תנועת האובייקט שלך מגיע מתחת לציר ה- x, המשמעות היא שהאובייקט זז אחורה ממיקומו ההתחלתי. באופן כללי, הגרף שלך לא יגיע לחלק האחורי של ציר ה- y - מכיוון שאנו לא מודדים את מהירותו של עצם הנע בעבר!

שלב 2. בחר נקודה סמוכה P ו- Q בשורה

כדי לקבל את שיפוע הקו בנקודה P, נוכל להשתמש בטריק שנקרא "לקחת את הגבול". לקיחת הגבול כרוכה בשתי נקודות (P ו- Q, נקודה בקרבת מקום) על הקו המעוקל ומציאת שיפוע הקו על ידי חיבורן פעמים רבות עד שהמרחקים P ו- Q מתקרבים.

נניח שקו התזוזה של האובייקט מכיל את הערכים (1, 3) ו- (4, 7). במקרה זה, אם נרצה למצוא את השיפוע בנקודה (1, 3), נוכל לקבוע (1, 3) = P ו (4, 7) = ש.

שלב 3. מצא את השיפוע בין P ל- Q

השיפוע בין P ל- Q הוא ההבדל בערכי y עבור P ו- Q לאורך הפרש הערך של ציר x עבור P ו- Q. במילים אחרות, H = (y_ש - י_פ)/(איקס_ש - איקס_פ), כאשר H הוא השיפוע בין שתי הנקודות. בדוגמה שלנו, ערך השיפוע בין P ל- Q הוא

H = (y_ש- י_פ)/(איקס_ש- איקס_פ)

H = (7 - 3)/(4 - 1)

H = (4)/(3) = 1.33

שלב 4. חזור על הפעולה מספר פעמים, והתקרב ל- Q אל P

המטרה שלך היא לצמצם את המרחק בין P ל- Q כך שיהיה דומה לנקודה. ככל שהמרחק בין P ל- Q קרוב יותר, כך שיפוע הקו בנקודה P. קרוב יותר. עשו זאת מספר פעמים בעזרת המשוואה המשמשת כדוגמה, באמצעות נקודות (2, 4.8), (1.5, 3.95) ו- (1.25, 3.49) כ- Q ונקודת ההתחלה (1, 3) כ- P:

ש = (2, 4.8):

H = (4.8 - 3)/(2 - 1)

H = (1.8)/(1) = 1.8

ש = (1.5, 3.95):

H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)

H = (.95)/(. 5) = 1.9

ש = (1.25, 3.49):

H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)

H = (.49)/(.25) = 1.96

שלב 5. הערך את שיפוע הקו למרחק קטן מאוד

ככל ש- מתקרב ל- P, H מתקרב ומתקרב לערך השיפוע של הנקודה P. בסופו של דבר, כאשר הוא מגיע לערך קטן מאוד, H שווה לשיפוע של P. מכיוון שאיננו יכולים למדוד או לחשב מרחקים קטנים מאוד, אנו יכולים להעריך רק את השיפוע ב- P לאחר שהוא ברור מהנקודה שאנו מנסים.

• בדוגמה, ככל שאנו מתקרבים ל- Q, אנו מקבלים ערכים של 1.8, 1.9 ו- 1.96 עבור H. מכיוון שמספרים אלה קרובים ל -2, אנו יכולים לומר כי 2 הוא השיפוע המשוער של P.
• זכור כי השיפוע בכל נקודה נתונה בקו שווה לנגזרת של משוואת הקו. מכיוון שהקו המשמש מציג את תזוזה של אובייקט לאורך זמן, ומכיוון שכפי שראינו בסעיף הקודם, מהירותו המיידית של אובייקט היא הנגזרת של עקירתו בנקודה נתונה, אנו יכולים גם לקבוע כי "2 מטרים/שנייה "הוא הערך המשוער של המהירות המיידית ב- t = 1.

שיטה 3 מתוך 3: שאלות לדוגמא

שלב 1. מצא את ערך המהירות המיידית ב t = 4, ממשוואת העקירה s = 5t³ - 3 ט² +2t+9.

בעיה זו זהה לדוגמה בחלק הראשון, אלא שמשוואה זו היא משוואת קוביות, לא משוואת כוח, כך שנוכל לפתור את הבעיה באותה הדרך.

• ראשית, ניקח את הנגזרת של המשוואה:

s = 5t³- 3 ט²+2t+9

s = (3) 5t^{(3 - 1)} - (2) 3t^{(2 - 1)} + (1) 2t^{(1 - 1) + (0) 9t0 - 1}

15t⁽²⁾ - 6t⁽¹⁾ + 2 ט⁽⁰⁾

15t⁽²⁾ - 6t + 2

• לאחר מכן, הזן את הערך של t (4):

s = 15t⁽²⁾- 6t + 2

15(4)⁽²⁾- 6(4) + 2

15(16) - 6(4) + 2

240 - 24 + 2 = 22 מטר/שנייה

שלב 2. השתמש באומדן גרפי כדי למצוא את המהירות המיידית ב (1, 3) למשוואת העקירה s = 4t² - t.

לבעיה זו נשתמש ב (1, 3) כנקודה P, אך עלינו להגדיר נקודה נוספת הסמוכה לנקודה זו כנקודה Q. לאחר מכן עלינו רק לקבוע את הערך של H ולערוך הערכה.

• ראשית, מצא את הערך של Q תחילה ב- t = 2, 1.5, 1.1 ו -1.01.

s = 4t²- t

t = 2:

s = 4 (2)²- (2)

4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, כך ש = (2, 14)

t = 1.5:

s = 4 (1.5)² - (1.5)

4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, כך ש = (1.5, 7.5)

t = 1.1:

s = 4 (1.1)² - (1.1)

4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, כך ש = (1.1, 3.74)

t = 1.01:

s = 4 (1.01)² - (1.01)

4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, כך ש = (1.01, 3.0704)

• לאחר מכן, קבע את הערך של H:

ש = (2, 14):

H = (14 - 3)/(2 - 1)

H = (11)/(1) =

שלב 11.

ש = (1.5, 7.5):

H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)

H = (4.5)/(. 5) =

שלב 9.

ש = (1.1, 3.74):

H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)

H = (.74)/(. 1) = 7.3

ש = (1.01, 3.0704):

H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)

H = (.0704)/(. 01) = 7.04

• מכיוון שערכו של H קרוב מאוד ל -7, אנו יכולים לקבוע זאת 7 מטר/שנייה היא המהירות המיידית המשוערת ב (1, 3).

טיפים

• כדי למצוא את ערך ההאצה (שינוי המהירות לאורך זמן), השתמש בשיטה בחלק הראשון כדי לקבל את המשוואה עבור הנגזרת של פונקציית העקירה. לאחר מכן צור שוב את המשוואה הנגזרת, הפעם מהמשוואה הנגזרת שלך. זה ייתן לך את המשוואה למצוא את ההאצה בכל זמן נתון, כל שעליך לעשות הוא להזין את ערך הזמן שלך.
• המשוואה המתייחסת לערך Y (עקירה) ל- X (זמן) עשויה להיות פשוטה מאוד, למשל Y = 6x + 3. במקרה זה, ערך המדרון קבוע, ואין צורך למצוא את הנגזרת כדי לחשב אותו, כאשר על פי משוואת קו ישר, Y = mx + b יהיה שווה ל -6.
• התזוזה דומה למרחק, אך יש לה כיוון, ולכן התזוזה היא כמות וקטורית, בעוד המרחק הוא כמות סקלרית. ערך העקירה יכול להיות שלילי, אך המרחק תמיד יהיה חיובי.