כיצד ללמוד אלגברה (עם תמונות)

2024 מְחַבֵּר: Jason Gerald | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-16 19:28

שליטה באלגברה חיונית להמשך כמעט כל סוג של מתמטיקה, בין אם בבית הספר היסודי או בתיכון. לכל רמה מתמטית יש בסיס, ולכן כל רמה מתמטית חשובה מאוד. עם זאת, אפילו הכישורים האלגבריים הבסיסיים ביותר יכולים להיות קשים למתחילים לתפוס בפעם הראשונה שהם נתקלים בהם. אם אתה מתקשה בנושאי אלגברה בסיסיים, אל תדאג - עם קצת הסבר נוסף, כמה דוגמאות קלות וכמה עצות לשיפור הכישורים שלך, בקרוב תפתור בעיות של אלגברה כמו מקצוען.

שלב

חלק 1 מתוך 5: לימוד כללי היסוד של האלגברה

שלב 1. סקור את פעולות המתמטיקה הבסיסיות שלך

כדי להתחיל ללמוד אלגברה, יהיה עליך להכיר מיומנויות מתמטיות בסיסיות כמו חיבור, חיסור, הכפלה וחלוקה. מתמטיקה זו של בית הספר היסודי/יסודי חשובה מאוד לפני שתתחיל ללמוד אלגברה. אם לא תשלוט במיומנויות אלה, יהיה קשה להשלים את המושגים המורכבים יותר הנלמדים באלגברה. אם אתה צריך רענון לפעולות אלה, נסה את המאמר שלנו על כישורי מתמטיקה בסיסיים.

אתה לא צריך להיות טוב בלבצע פעולות בסיסיות אלה בראש כדי לבצע בעיות באלגברה. שיעורי אלגברה רבים מאפשרים לך להשתמש במחשבון כדי לחסוך זמן בעת ביצוע פעולות פשוטות אלה. עם זאת, עליך לפחות לדעת כיצד לבצע פעולות אלה ללא מחשבון כאשר אינך רשאי להשתמש במחשבון

שלב 2. דע את סדר הפעולות

אחד הדברים המסובכים ביותר בפתרון משוואות אלגבריות כמתחיל הוא לדעת את הסדר שבו הן מתחילות. למרבה המזל, ישנו סדר מסוים בפתרון בעיות אלה: ראשית, בצע כל פעולה מתמטית בסוגריים, לאחר מכן בצע את המעריכים, לאחר מכן הכפל, לאחר מכן חלק, ולאחר מכן הוסף, ולבסוף הפחת. אמצעי שימושי לזכור את סדר הפעולות הללו הם ראשי התיבות KPKBJK. למד כיצד ליישם את סדר הפעולות כאן. לסיכום, סדר הפעולות הוא:

• ק לְהִכָּשֵׁל
• פ להרים/מעריך
• ק עלי
• ב שוב
• י אומלה
• ק שרימפ

• סדר הפעולות חשוב באלגברה מכיוון שביצוע הפעולות בבעיית אלגברה בסדר הלא נכון יכול לפעמים להשפיע על התשובה. לדוגמה, אם נבצע את הבעיה במתמטיקה 8 + 2 × 5, אם נוסיף 2 ו -8 תחילה, נקבל 10 × 5 = 50, אבל אם נכפיל 2 ו -5 תחילה, נקבל 8 + 10 =

  שלב 18.. רק התשובה השנייה נכונה.

שלב 3. דע כיצד להשתמש במספרים שליליים

באלגברה השימוש במספרים שליליים נפוץ מאוד. אז מומלץ לבדוק כיצד להוסיף, לחסר, להכפיל ולחלק מספרים שליליים לפני שתתחיל ללמוד אלגברה. להלן מספר יסודות של מספר שלילי שכדאי לזכור - למידע נוסף, עיין במאמרים שלנו בנושא הוספה וחיסור מספרים שליליים וחילוק והכפלת מספרים שליליים.

• בשורת מספרים, הגרסה השלילית של מספר היא אותו מרחק מאפס כאשר המספר החיובי הוא מאפס, אך בכיוון ההפוך.
• הוספת שני מספרים שליליים הופכת את המספר לשלילי עוד יותר (במילים אחרות, הספרה תהיה גדולה יותר, אך מכיוון שהמספר שלילי, הערך יהיה קטן יותר)
• שני סימנים שליליים מבטלים זה את זה - חיסור מספר שלילי זהה להוספת מספר חיובי
• הכפלה או חלוקה של שני מספרים שליליים נותנת תשובה חיובית.
• הכפלה או חלוקה של מספר חיובי ומספר שלילי נותנת תשובה שלילית.

שלב 4. דע כיצד לבנות שאלות ארוכות

בעוד שניתן לפתור בעיות פשוטות באלגברה, בעיות מורכבות יותר יכולות לדרוש צעדים רבים. כדי להימנע מטעויות, שמור על העבודה שלך על ידי התחלת שורה חדשה בכל פעם שאתה עושה צעד להשלמת הבעיה שלך. אם אתה עובד עם משוואה דו-צדדית, נסה לרשום את כל סימני השווים ("=") מתחת לסימני השווים האחרים. בדרך זו, אם תטעה איפשהו, יהיה קל יותר למצוא ולתקן אותה.

• לדוגמה, כדי לפתור את המשוואה 9/3 - 5 + 3 × 4, ייתכן שנוכל לבנות את הבעיה שלנו כך:

  9/3 - 5 + 3 × 4

  9/3 - 5 + 12

  3 - 5 + 12

  3 + 7

  שלב 10.

חלק 2 מתוך 5: הבנת המשתנים

שלב 1. חפש סמלים שהם לא מספרים

באלגברה, תתחיל לראות אותיות וסמלים המופיעים בבעיות המתמטיקה שלך, לא רק מספרים. אותיות וסמלים אלה נקראים משתנים. משתנים אינם מבלבלים כפי שהם נראים במבט ראשון - הם רק דרך לרשום מספרים עם ערכים לא ידועים. להלן רק כמה דוגמאות נפוצות למשתנים באלגברה:

• אותיות כמו x, y, z, a, b ו- c
• אותיות יווניות כמו תטא או
• שים לב שלא כל הסמלים הם משתנים לא ידועים. לדוגמה, pi, או, תמיד שווה לערך 3.1459.

שלב 2. תחשוב על משתנים כמספרים "לא ידועים"

כפי שצוין לעיל, משתנים הם בעצם רק מספרים עם ערכים לא ידועים. בדרך כלל, המטרה שלך בבעיות אלגברה היא לברר את הערך של משתנה - תחשוב על המשתנה כ"מספר המסתורי "שאתה מנסה למצוא.

• לדוגמה, במשוואה 2x + 3 = 11, x הוא המשתנה שלנו. המשמעות היא שישנם מספר ערכים שתופסים את מקומו של x כדי שהצד השמאלי של המשוואה יהיה שווה 11. מאז 2 × 4 + 3 = 11, במקרה זה, x =

  שלב 4..

• דרך קלה להתחיל להבין משתנים היא להחליף אותם בסימני שאלה בבעיות אלגברה. לדוגמה, נוכל לשכתב את המשוואה 2 + 3 + x = 9 להיות 2 + 3 +?

  = 9. זה מקל עלינו להבין את הדברים שאנחנו מנסים לעשות - עלינו רק למצוא את הערך שיש להוסיף ל -2 + 3 = 5 כדי לקבל 9. שוב, כמובן שהתשובה היא

  שלב 4..

שלב 3. אם משתנה מתרחש יותר מפעם אחת, פשט את המשתנה

מה עושים אם אותו משתנה מופיע יותר מפעם אחת במשוואה? למרות שזה נראה קשה לפתרון, אתה יכול להתייחס למעשה למשתנים כמו למספרים רגילים - במילים אחרות, אתה יכול להוסיף אותם, לחסר אותם וכן הלאה, כל עוד אתה משלב רק משתנים דומים. במילים אחרות, x + x = 2x, אך x + y אינו שווה ל- 2xy.

• לדוגמה, בואו נסתכל על המשוואה 2x + 1x = 9. בבעיה זו, אנו יכולים להוסיף 2x ו- 1x כדי לקבל 3x = 9. מכיוון ש -3 x 3 = 9, אנו יודעים ש x =

  שלב 3..

• שים לב שוב שאתה יכול להוסיף רק את אותם המשתנים. במשוואה 2x + 1y = 9, איננו יכולים לשלב 2x ו- 1y מכיוון שהם משתנים שונים.
• זה חל גם כאשר למשתנה אחד יש מעריך שונה מהמשתנה השני. לדוגמה, במשוואה 2x + 3x² = 10, איננו יכולים לשלב 2x ו- 3x² מכיוון שלמשתנה x יש מעריך אחר. למידע נוסף, ראה כיצד להוסיף מעריכים.

חלק 3 מתוך 5: לימוד כיצד לפתור משוואות על ידי "שלילה"

שלב 1. נסה לבודד את המשתנים במשוואות האלגבריות

פתרון משוואות באלגברה פירושו בדרך כלל לברר את ערך המשתנה. משוואות אלגבריות מורכבות בדרך כלל ממספרים ו/או משתנים משני הצדדים, כך: x + 2 = 9 × 4. כדי למצוא את ערך המשתנה, עליך לבודד את המשתנה בצד אחד של סימן השווים. מה שנשאר בצד השני של סימן השווים הוא התשובה שלך.

בדוגמה (x + 2 = 9 × 4), כדי לבודד x בצד השמאלי של המשוואה, עלינו לבטל את " + 2". לשם כך, עלינו רק להפחית 2 מהצד ההוא ולהשאיר אותנו עם x = 9 × 4. עם זאת, כדי לשמור על שני צידי המשוואה שווים, עלינו גם להפחית 2 מהצד השני. זה משאיר אותנו עם x = 9 × 4 - 2. בעקבות סדר הפעולות, אנו מכפילים תחילה ולאחר מכן מפחיתים את התשובה שלנו x = = 36 - 2 = 34.

שלב 2. סלק את החיבור על ידי חיסור (ולהיפך)

כפי שראינו לעיל, בידוד x בצד אחד של סימן השווים פירושו בדרך כלל חיסול המספרים שלידו. לשם כך אנו מבצעים את פעולת ה"הפוך "משני צידי המשוואה. לדוגמה, במשוואה x + 3 = 0, מכיוון שאנו רואים " + 3" אחרי ה- x שלנו, נניח "-3" משני הצדדים. "+3" ו- "-3", השארת x לבד ו- "-3" בצד השני של סימן השווים, כך: x = -3.

• באופן כללי, חיבור וחיסור הם כמו "היפוכים" - חשבו פעולה אחת כדי להשליך את השנייה. ראה למטה:

  לתוספת, הפחת. דוגמה: x + 9 = 3 → x = 3 - 9

  לצורך חיסור, הוסף. דוגמה: x - 4 = 20 → x = 20 + 4

שלב 3. לחסל את הכפל בחלוקה (ולהיפך)

כפל וחילוק מעט יותר קשה לעבוד איתם מאשר חיבור וחיסור, אך לחישובים אלה יש אותו קשר "הפוך". אם אתה רואה "× 3" בצד אחד, תבטל אותו על ידי חלוקת שני הצדדים ב -3 וכן הלאה.

• עם כפל וחילוק, עליך לבצע את הפעולה ההפוכה לכל המספרים שנמצאים בצד השני של סימן השווים, גם אם צד זה מכיל יותר ממספר אחד. ראה למטה:

  לצורך כפל, חלק. דוגמה: 6x = 14 + 2 → x = (14 + 2) /6

  לחלוקה, הכפל. דוגמה: x/5 = 25 → x = 25 × 5

שלב 4. הסר את המעריך על ידי מציאת השורש (ולהיפך)

Exponents הוא נושא מתקדם למדי לפני אלגברה - אם אינך יודע כיצד לעשות זאת, עיין במאמר מעריכי היסוד שלנו למידע נוסף. ה"הפוך "של מעריך הוא שורש בעל אותו מספר כמו המעריך. למשל, ההדדיות של המעריך ² הוא השורש הריבועי (√), הדדי של המעריך ³ הוא שורש הקוביה (³), וכן הלאה.

• זה אולי קצת מבלבל, אבל במקרים אלה אתה מחפש את השורשים של שני הצדדים בעבודה עם מעריך. במילים אחרות, אתה עושה את ההערכה לשני הצדדים כאשר אתה עובד עם השורש. ראה למטה:

  עבור המעריך, מצא את השורש. דוגמה: x² = 49 → x = √49

  לשורשים, הרם. דוגמה: x = 12 → x = 12²

חלק 4 מתוך 5: חידד את כישורי האלגברה שלך

שלב 1. השתמש בתמונות כדי להבהיר את השאלות

אם אתה מתקשה לדמיין בעיה של אלגברה, נסה להשתמש בתרשים או בתמונה כדי להמחיש את המשוואה שלך. אתה יכול אפילו לנסות להשתמש בחבורה של אובייקטים פיזיים (כמו בלוקים או מטבעות) אם יש לך אחד כזה.

• לדוגמה, בואו נפתור את המשוואה x + 2 = 3 באמצעות הריבוע (☐)

  x +2 = 3

  ☒+☐☐ =☐☐☐

  בשלב זה, נחסור 2 משני הצדדים על ידי הסרת 2 ריבועים (☐☐) משני הצדדים:

  ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐

  = ☐, או x =

  שלב 1.

• כדוגמה נוספת, ננסה 2x = 4

  ☒☒ =☐☐☐☐

  בשלב זה נחלק את שני הצדדים על ידי הפרדת הקופסאות מכל צד לשתי קבוצות:

  ☒|☒ =☐☐|☐☐

  =, או x =

  שלב 2.

שלב 2. השתמש ב"בדיקות שכל ישר "(במיוחד לשאלות סיפור)

בעת המרת בעיות סיפור לאלגברה, נסה לבדוק את הנוסחאות שלך על ידי הזנת ערכים פשוטים עבור המשתנים שלך. האם המשוואה שלך הגיונית כאשר x = 0? כאשר x = 1? כאשר x = -1? קל לעשות את הטעות הפשוטה של כתיבת p = 6d כאשר אתה מתכוון p = d/6, אך קל לזהות את הדברים האלה אם תבצע בדיקה מהירה ושכלתנית על עבודתך לפני שתמשיך הלאה.

לדוגמה, נאמר לנו שמגרש כדורגל ארוך יותר מ -30 מ 'מהרוחב. אנו משתמשים במשוואה p = l + 30 כדי לייצג בעיה זו. אנו יכולים לבדוק אם משוואה זו הגיונית על ידי הזנת ערכים פשוטים עבור l. לדוגמה, אם לשדה יש רוחב של l = 10 מ ', האורך הוא 10 + 30 = 40 מ'. אם הרוחב הוא 30 מ ', האורך הוא 30 + 30 = 60 מ' וכן הלאה. המשוואה הזו הגיונית - אנו מצפים לשדה זה להיות באורך גדול יותר ככל שהרוחב גדל, ולכן המשוואה הזו הגיונית

שלב 3. שים לב שתשובות אינן תמיד מספרים שלמים באלגברה

התשובות באלגברה ובצורות מתקדמות אחרות אינן תמיד מספרים פשוטים ועגולים. מספר זה יכול להיות מספר עשרוני, שברירי או לא רציונלי. מחשבון יכול לעזור לך למצוא את התשובות המורכבות הללו, אך זכור כי המורה שלך עשוי לדרוש ממך לכתוב את התשובות בצורה מדויקת, לא בצורה עשרונית מסובכת.

לדוגמה, נפשט משוואה אלגברית ל x = 1250⁷. אם נרשום 1250⁷ במחשבון נקבל הרבה מאוד מקומות עשרוניים (בנוסף, מכיוון שמסך המחשבון אינו גדול במיוחד, המחשבון לא יכול להציג את כל התשובות.) במקרה זה, נרצה לרשום את התשובה שלנו כ- 1250 בלבד⁷ או לפשט את התשובה על ידי כתיבתה בסימון מדעי.

שלב 4. כאשר אתה מרגיש בטוח באלגברה בסיסית, נסה פקטורינג

אחת היכולות האלגבריות המורכבות מכולן היא פקטורינג - מעין קיצור דרך להפוך משוואות מורכבות לצורות פשוטות יותר. פקטורינג הוא נושא אלגברה חצי מתקדם, לכן שקול להתייעץ עם המאמר המקושר למעלה אם אתה מתקשה להשתלט עליו. להלן מספר עצות מהירות למשוואות פקטורינג:

• המשוואה של הצורה ax + ba מחושבת ל- (x + b). דוגמה: 2x + 4 = 2 (x + 2)
• משוואת גרזן הצורה² + bx מחושב ל- cx ((a/c) x + (b/c)) כאשר c הוא המספר הגדול ביותר שיכול לחלק את a ו- b באופן שווה. דוגמה: 3y² + 12y = 3y (y + 4)
• משוואת הטופס x² + bx + c מחושב לתוך (x + y) (x + z) כאשר y × z = c ו- yx + zx = bx. דוגמה: x² + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).

שלב 5. תרגלו, תרגלו ותתרגלו

התקדמות באלגברה (וסוגי מתמטיקה אחרים) דורשת הרבה עבודה קשה וחזרה על עצמה. אל תדאג - על ידי תשומת לב בכיתה, ביצוע כל המטלות שלך ופנייה לעזרה מהמורה שלך או מתלמידים אחרים בעת הצורך, האלגברה תתחיל להפוך להרגל.

שלב 6. שאל את המורה שלך שיעזור לך להבין נושאים אלגבריים מורכבים

אם אתה מתקשה בהבנת האלגברה, אל תדאג - אינך צריך ללמוד זאת לבד. המורה שלך הוא האדם הראשון שאליו אתה צריך לפנות לשאלות. לאחר השיעור בקשו עזרה מהמורה בנימוס. מורה טוב בדרך כלל יהיה מוכן להסביר מחדש את נושא היום במפגש לאחר שעות הלימודים, ואולי המורה שלך יוכל לספק לך חומרי תרגול נוספים.

אם, מסיבה כלשהי, המורה שלך אינו מסוגל לעזור לך, שאל אותו לגבי אפשרויות לימוד נוספות בבית הספר שלך. בבתי ספר רבים יש סוג של תוכנית צהרונים שיכולה לעזור לך לקבל את הזמן והתשומת לב הנוספים שאתה צריך כדי להתחיל לשלוט באלגברה שלך. זכור כי השימוש בעזרה החינמית העומדת לרשותך אינו מה להתבייש בו - סימן שאתה חכם מספיק כדי לפתור את הבעיה שלך

חלק 5 מתוך 5: חקר נושאי ביניים

שלב 1. למד כיצד לבצע גרף של משוואת x/y

גרפים יכולים להיות כלי רב ערך באלגברה מכיוון שהם מאפשרים לך להציג רעיונות הדורשים מספרים בצורה של תמונות קלות להבנה. בדרך כלל, באלגברה למתחילים, בעיות גרף מוגבלות למשוואות עם שני משתנים (בדרך כלל x ו- y) והן מיוצגות בגרפים דו-ממדיים פשוטים עם ציר x וציר y. עם משוואות אלה, כל שעליך לעשות הוא להזין ערך עבור x, ולאחר מכן לחפש y (או להיפך) כדי לקבל שני מספרים שהופכים לנקודה בגרף.

• לדוגמה, במשוואה y = 3x, אם נזין 2 עבור x, נקבל y = 6. פירוש הדבר שהנקודה (2, 6) (שני צעדים ימינה ממרכז הגרף ושישה צעדים למעלה ממרכז הגרף) הוא חלק מהגרף של משוואה זו.
• משוואות מהצורה y = mx + b (כאשר m ו- b הם מספרים) נפוצות מאוד באלגברה בסיסית. למשוואות אלו תמיד יש שיפוע או שיפוע m וחותכות את ציר y ב- y = b.

שלב 2. למד כיצד לפתור אי שוויון

מה אתה עושה כאשר למשוואה שלך אין סימן שוויון? מסתבר, לא שונה מדי ממה שאתה עושה בדרך כלל. לגבי אי שוויון, שמשתמשים בסימנים כמו> ("גדול מ") ו <("פחות מ"), פשוט פתר כרגיל. תשאיר תשובה שהיא קטנה או גדולה מהמשתנה שלך.

• לדוגמה, עם המשוואה 3> 5x - 2, היינו פותרים אותה כפי שהיינו משוואה רגילה:

  3> 5x - 2

  5> 5x

  1> x, או x <1.

• המשמעות היא שכל מספר קטן מאחד יכול להיות ערך x. במילים אחרות, x יכול להיות 0, -1, -2 וכן הלאה. אם נחבר את המספרים האלה למשוואה עבור x, תמיד נקבל תשובה שהיא פחות מ -3.

שלב 3. עבודה על משוואות ריבועיות

אחד הנושאים האלגבריים שמתחילים עשויים להיתקל בהם הוא פתרון משוואות ריבועיות. הריבוע הוא משוואה של גרזן הצורה² + bx + c = 0, כאשר a, b ו- c הם מספרים (חוץ מזה a לא יכול להיות 0). משוואות אלה נפתרות על ידי הנוסחה x = [-b +/- (b² - 4ac)]/2a. היזהר - סימן +/- פירושו שעליך למצוא תשובות לחיבור ולחיסור כך שתוכל לקבל שתי תשובות לשאלות מסוג זה.

• לדוגמה, בואו נפתור את הנוסחה הריבועית 3x² + 2x -1 = 0.

  x = [-b +/- (ב² - 4ac)]/2a

  x = [-2 +/- (2² - 4(3)(-1))]/2(3)

  x = [-2 +/- (4- (-12))]/6

  x = [-2 +/- (16)]/6

  x = [-2 +/- 4]/6

  x = - 1 ו 1/3

שלב 4. התנסות במערכות משוואות

לפתור יותר ממשוואה אחת בבת אחת אולי נשמע מאוד מסובך, אבל כשאתה עובד עם משוואות אלגבריות פשוטות, זה בעצם לא כל כך קשה. לעתים קרובות, מורי אלגברה משתמשים בגישה גרפית לפתרון בעיות אלה. כאשר אתה עובד עם מערכת של שתי משוואות, הפתרונות הם הנקודות בגרף שבו קווים של שתי המשוואות מצטלבים.

• לדוגמה, אנו עובדים עם מערכת שהמשוואות שלה הן y = 3x -2 ו- y = -x -6. אם נצייר את שני הקווים האלה על הגרף, נקבל קו אחד שעולה בזווית תלולה, ואחד שיורדת בזווית תלולה. זווית עדינה. מכיוון שקווים אלה מצטלבים בנקודה (-1, -5), אז נקודה זו היא הפתרון של מערכת זו.

• אם נרצה לבדוק את הבעיה שלנו, נוכל לעשות זאת על ידי חיבור התשובה שלנו למשוואה במערכת - התשובה הנכונה תהיה "נכונה" עבור שתי המשוואות.

  y = 3x - 2

  -5 = 3(-1) - 2

  -5 = -3 - 2

  -5 = -5

  y = -x - 6

  -5 = -(-1) - 6

  -5 = 1 - 6

  -5 = -5

• שתי המשוואות "נבדקות", כך שהתשובה שלנו נכונה!

טיפים

• ישנם משאבים רבים ללימוד אלגברה מהאינטרנט. לדוגמה, חפש "נוסחאות אלגבריות" במנוע חיפוש. יש כל כך הרבה תוצאות מעולות שיופיעו. תוכל גם לנסות לדפדף במבחר מאמרים במתמטיקה של wikiHow. יש הרבה מידע בחוץ, אז התחל לחקור עכשיו!
• אתר אחד נהדר למתחילים באלגברה הוא khanacademy.com. אתר חינמי זה מציע עשרות שיעורים קלים לביצוע במגוון רחב של נושאים, כולל אלגברה. ישנם סרטונים לכל הנושאים הללו, החל מיסודות קלים מאוד ועד נושאים מתקדמים ברמת האוניברסיטה. אז אל תפחדו לחקור את החומרים של חאן אקדמיה ולהתחיל להשתמש בכל העזרה שיש לאתר להציע!
• אל תשכח שהמשאבים הטובים ביותר שלך כאשר אתה מנסה ללמוד אלגברה כוללים אנשים שאתה מכיר היטב. שאל את החברים או חבריך לכיתה לגבי השיעור האחרון שלא הבנת.