משפט פיתגורס מתאר את אורכי צידי המשולש הימני בצורה אלגנטית ומעשית, כך שמשפט זה נמצא בשימוש נרחב גם כיום. משפט זה קובע כי עבור כל משולש ימני, סכום הריבועים של הצדדים הלא זווית שווה לריבוע ההיפוטנוזה. במילים אחרות, עבור משולש ימני עם צלעים מאונכים a ו- b וההיפנוטוס c, א2 + ב2 = ג2.
משפט פיתגורס הוא אחד מעמודי התווך הבסיסיים של הגיאומטריה היסודית. יש אינספור יישומים שמשתמשים במשפט זה, למשל, כדי להקל על מציאת המרחק בין שתי נקודות במישור קואורדינטות.
שלב
שיטה 1 מתוך 2: מציאת הצדדים של משולש ימני
שלב 1. ודא שהמשולש שלך הוא משולש ימני
משפט פיתגורס חל רק על משולשים ימניים, לכן, לפני שתמשיך, חשוב מאוד לוודא שהמשולשים שלך תואמים את המאפיינים של המשולשים הנכונים. למרבה המזל, יש גורם אחד שיכול להצביע על כך שהמשולש שלך הוא משולש ימני. המשולש שלך צריך להיות בעל זווית אחת של 90 מעלות.
כסימן, משולשים ימניים מסומנים לרוב בריבועים קטנים לציון זוויות של 90 מעלות, לא באמצעות "עקומות" מעוקלות. חפש את הסימן המסוים הזה בפינת המשולש שלך
שלב 2. תן את המשתנים a, b ו- c עבור צידי המשולש שלך
במשפט הפיתגורס, המשתנים a ו- b מייצגים את הצדדים שנפגשים במשולש הימני, בעוד שהמשתנה c מייצג את ההיפוטנוזה - הצד הארוך שמול הזווית הנכונה. אז, ראשית, סמן את הצדדים הקצרים של המשולש שלך עם המשתנים a ו- b (לא משנה אם תחליף אותם), וסמן את ההיפוטנוזה במשתנה c.
שלב 3. החליטו איזה צד של המשולש אתם רוצים לפתור
משפט פיתגורס מאפשר למתמטיקאים למצוא את אורך כל צד של משולש ימני כל עוד הם יודעים את אורכי שני הצדדים האחרים. קבע איזה צד אינו ידוע - a, b, ו/או c. אם אורך אחד הצדדים שלך אינו ידוע, אתה מוכן להמשיך הלאה.
- לדוגמה, אנו יודעים שאורך ההיפוטנוזה של משולש הוא 5 ואורכו של אחד הצדדים האחרים הוא 3, אך איננו בטוחים באורך הצד השלישי. במקרה זה, אנו יודעים שאנו מחפשים את אורך הצד השלישי, ומכיוון שאנו יודעים את אורכם של השניים האחרים, נוכל לפתור אותו! נעבוד על בעיה זו בשלבים הבאים.
- אם אינך יודע את אורכי שני הצדדים, עליך להכיר את אחד הצדדים על מנת שתוכל להשתמש במשפט פיתגורס. פונקציות טריגונומטריות בסיסיות יכולות לעזור לך אם אתה מכיר צד אחד של משולש שאינו נטוי.
שלב 4. חבר את הערכים הדו-צדדיים שאתה כבר מכיר למשוואה
חבר את אורכי צדי המשולש שלך למשוואה a2 + ב2 = ג2. זכור כי a ו- b הם צדדים שאינם משופעים, ואילו c הוא ההיפנוזה.
בדוגמה שלנו, אנו יודעים את אורך אחד הצדדים ואת היפוטנוזה (3 & 5), כך שהמשוואה הופכת 3² + b² = 5²
שלב 5. ריבוע
כדי לפתור את המשוואה שלך, התחל בריבוע הצדדים הידועים. לחלופין, אם אתה מוצא את זה קל יותר, אתה יכול להשאיר את אורכי הצד שלך בריבוע, ולרבוע אותם מאוחר יותר.
-
בדוגמה שלנו, נבצע ריבוע 3 ו -5 כך שנקבל
שלב 9. da
שלב 25.. נוכל לכתוב את המשוואה כ- 9 + b² = 25.
שלב 6. העבר את המשתנה הלא ידוע לצד השני של המשוואה
במידת הצורך, השתמש בפעולות אלגבריות בסיסיות כדי לגרום למשתנה הלא ידוע לעבור לצד השני של המשוואה ולריבוע של שני המשתנים האחרים לצד השני. אם אתה רוצה למצוא את אורך ההיפוטנוזה, c נמצא כבר בצד השני של המשוואה, כך שאתה לא צריך לעשות שום דבר כדי להזיז אותו.
בדוגמה שלנו, המשוואה הנוכחית היא 9 + b² = 25. כדי להזיז b², חיסרו את שני צידי המשוואה ב- 9, כך שהתוצאה היא b² = 16
שלב 7. שורש מרובע משני צידי המשוואה
כעת רק משתנה אחד בריבוע בצד אחד והמספר בצד השני. שורש מרובע משני הצדדים כדי למצוא את אורך הצד הלא ידוע.
-
בדוגמה שלנו, b² = 16, לקיחת השורש הריבועי של שני הצדדים נותנת b = 4. לפיכך, אנו יכולים לומר שאורך הצד הלא ידוע של המשולש הוא
שלב 4..
שלב 8. השתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את צלעותיו של משולש ימני אמיתי
הסיבה שמשפט פיתגורס נמצא בשימוש נרחב כיום היא שניתן ליישמו על אינספור מצבים מעשיים. למד להכיר משולשים נכונים בחיים האמיתיים - בכל מצב בו שני אובייקטים או קווים ישרים פוגשים זווית ישרה והאובייקט או הקו השלישי מצטרפים לשני האובייקטים או הקווים באלכסון, תוכל להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את אורך הצד השני, אם אורכי שני הצדדים האחרים ידועים.
-
ננסה דוגמה אמיתית שהיא קצת יותר קשה. סולם נשען על בניין. המרחק מתחתית המדרגות לקיר הוא 5 מטרים. גובה המדרגות מגיע ל -20 מטרים. כמה זמן הסולם?
-
5 מטרים מהקיר וגובהו 20 מטרים מספרים לנו את אורכי צדי המשולש. מכיוון שהקיר והקרקע (מניחים) יוצרים זווית ישרה והסולם מונח באלכסון אל הקיר, סידור זה יכול להיחשב כמשולש ימני עם אורכי צד a = 5 ו- b = 20. אורך הסולם הוא ההיפנוטוס, כך שהערך של c אינו ידוע. בואו נשתמש במשפט פיתגורס:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- שורש (425) = ג
- c = 20.6. האורך המשוער של הסולם הוא 20.6 מטר.
-
שיטה 2 מתוך 2: חישוב המרחק בין שתי נקודות במטוס X-Y
שלב 1. מצא שתי נקודות במטוס ה- X-Y
ניתן להשתמש במשפט פיתגורס בקלות לחישוב מרחק הקו הישר בין שתי נקודות במישור X-Y. כל מה שאתה צריך לדעת הוא קואורדינטות x ו- y של שתי הנקודות. בדרך כלל, הקואורדינטות הללו נכתבות יחד בצורה (x, y).
בכדי למצוא את המרחק בין שתי הנקודות הללו, נתייחס לכל נקודה כאחת מהזוויות הלא-ימניות של משולש ימני. פעולה זו תקל על מציאת אורכי הצדדים a ו- b ולאחר מכן חישוב צמצום c, שהוא המרחק בין שתי הנקודות
שלב 2. צייר את שתי הנקודות שלך בתמונה
במישור X-Y רגיל, כל נקודה (x, y), x מייצג קואורדינטה אופקית ו- y מייצג קואורדינטה אנכית. אתה יכול למצוא את המרחק בין שתי הנקודות מבלי לצייר אותו, אך פעולה זו תעניק לך תמונה ויזואלית שתוכל להשתמש בה כדי לראות אם התשובה שלך נכונה.
שלב 3. מצא את אורך הצד הלא משופע של המשולש שלך
שימוש בשתי הנקודות כזוויות המשולש הסמוך להיפוטנוזה, מצא את אורכי הצדדים a ו- b של המשולש. אתה יכול לעשות זאת באמצעות תמונה או באמצעות הנוסחה | x1 - איקס2| עבור הצד האופקי ו- | y1 - י2| עבור הצד האנכי, עם (x1, י1) כנקודה הראשונה ו- (x2, י2) כנקודה שנייה.
-
תנו לשתי הנקודות שלנו להיות (6, 1) ו- (3, 5). אורך הצד האופקי של המשולש שלנו הוא:
- | x1 - איקס2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
שלב 3.
-
אורך הצד האנכי הוא:
- | י1 - י2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
שלב 4.
- לכן, במשולש הימני שלנו, צד a = 3 וצד b = 4.
שלב 4. השתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את אורך ההיפנוזה
המרחק בין שתי נקודות הוא אורך ההיפוטנוזה של המשולש שאת שתי צלעותיו מצאת זה עתה. השתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את ההיפוטנוזה, כאשר a הוא אורך הצד הראשון ו- b הוא אורך הצד השני.
-
בדוגמה שלנו, אנו משתמשים בנקודות (3, 5) ו- (6, 1) שאורכי הצד שלהן הם 3 ו -4, כך שנוכל למצוא את ההיפנוזה כדלקמן:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = root (9+16)
- c = root (25)
-
c = 5. המרחק בין (3, 5) ל- (6, 1) הוא
שלב 5..
-
טיפים
-
ההיפנוזה היא תמיד:
- מול הזווית הנכונה (בלי לגעת בזווית הנכונה)
- הצד הארוך ביותר במשולש ימני
- נקרא c במשפט פיתגורס
- שורש (x) פירושו השורש הריבועי של x.
- זכור לבדוק תמיד את התשובות שלך. אם התשובה שלך נראית שגויה, נסה שוב ונסה שוב.
- אם המשולש אינו משולש ימני, אתה זקוק למידע נוסף, לא רק לאורכו של שני הצדדים האחרים.
- דרך נוספת לבדוק - הצד הארוך ביותר נמצא מול הזווית הגדולה ביותר והצד הקצר ביותר הוא מול הזווית הקטנה ביותר.
- דמויות הן המפתח לכתיבת הערכים הנכונים עבור a, b ו- c. אם אתה עובד על בעיית סיפור, הקפד לרשום את הבעיה בצורת תמונה תחילה.
- אם אתה יודע רק את אורך הצד האחד, משפט פיתגורס לא עובד. נסה להשתמש בטריגונומטריה (sin, cos, tan) או 30-60-90 / 45-45-90 יחסים.
