הקובע של מטריצות משמש לעתים קרובות בחשבון, באלגברה לינארית ובגיאומטריה ברמה גבוהה יותר. מחוץ לאקדמיה, מהנדסי גרפיקה ממוחשבים ומתכנתים משתמשים בכל פעם במטריצות ובגורמי הקביעה שלהן. אם אתה כבר יודע כיצד לקבוע את הקובע של מטריצה בסדר גודל של 2x2, אתה רק צריך ללמוד מתי להשתמש בחיבור, חיסור וזמנים כדי לקבוע את הקובע של מטריצה בסדר 3x3.
שלב
חלק 1 מתוך 2: קביעת הקובעים
כתוב את מטריצת ההזמנה שלך 3 x 3. נתחיל במטריצה A בסדר גודל 3x3 וננסה למצוא את הקובע | A |. להלן צורת הסימון הכללית של המטריצה שבה נשתמש ודוגמא למטריצה שלנו:
| א11 | א12 | א13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | א21 | א22 | א23 | = | 2 | 4 | 7 |
| א31 | א32 | א33 | 4 | 6 | 2 |
שלב 1. בחר שורה או עמודה
בצע את הבחירה שלך לשורת הייחוס או העמודה. לא משנה מה תבחר, עדיין תקבל את אותה התשובה. בחר באופן זמני את השורה הראשונה. אנו נותנים לך כמה הצעות לבחירת האפשרות הקלה ביותר לחישוב בחלק הבא.
בחר בשורה הראשונה של מטריצת המדגם A. מעגל את המספר 1 5 3. בסימון משותף, מעגל א11 א12 א13.
שלב 2. חצו את השורה והעמודה של האלמנט הראשון שלכם
תסתכל על השורה או העמודה שהקפת ובחר את האלמנט הראשון. חתכו את השורות והעמודות. יישארו רק 4 מספרים ללא נגיעה. הפוך את 4 המספרים הללו למטריצת סדר של 2 x 2.
- בדוגמה שלנו, שורת ההתייחסות שלנו היא 1 5 3. האלמנט הראשון נמצא בשורה הראשונה ובעמודה הראשונה. חצו את כל השורה הראשונה והעמודה הראשונה. כתוב את שאר האלמנטים למטריצה של 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
שלב 3. קבע את הקובע של מטריצת הסדר 2 x 2
זכור, קבע את הקובע של המטריצה [אג בד] על ידי מודעה - bc. ייתכן שגם למדת לקבוע את הקובע של מטריצה על ידי ציור X בין מטריצה 2 x 2. הכפל את שני המספרים המחוברים בקו / של X. לאחר מכן, הפחת את מספר הפעמים ששני המספרים המחוברים על ידי השורה / הם. השתמש בנוסחה זו כדי לחשב את הקובע של מטריצה 2 x 2.
- בדוגמה, הקובע של המטריצה [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- קובע זה נקרא קַטִין של האלמנטים שבחרת במטריצה הראשונית. במקרה זה, מצאנו הרגע את הקטין של א11.
שלב 4. הכפל את המספר שנמצא על ידי האלמנט שבחרת
זכור, בחרת באלמנטים משורת הייחוס (או העמודה) כשהחלטת אילו שורות ועמודות לסלק. הכפל את האלמנט הזה לפי הקובע של מטריצת 2 x 2 שמצאת.
בדוגמה, אנו בוחרים א11 שהוא 1. הכפל מספר זה ב- -34 (הקובע של מטריצת 2 x 2) כדי לקבל 1*-34 = - 34.
שלב 5. קבע את סמל התשובה שלך
השלב הבא הוא שעליך להכפיל את התשובה שלך ב -1 או -1 כדי לקבל קופקטור של האלמנט שבחרת. הסמל שבו אתה משתמש תלוי היכן נמצאים האלמנטים במטריצת 3 x 3. זכור, טבלת סמלים זו משמשת לקביעת מכפיל האלמנט שלך:
- + - +
- - + -
- + - +
- כי אנחנו בוחרים א11 המסומן כ +, נכפיל את המספר ב- +1 (או במילים אחרות, אל תשנה אותו). התשובה שתופיע תהיה זהה, כלומר - 34.
- דרך נוספת להגדיר סמל היא שימוש בנוסחה (-1) i+j כאשר i ו- j הם רכיבי שורה ועמודה.
שלב 6. חזור על תהליך זה עבור האלמנט השני בשורת ההפניה או בעמודה שלך
חזור למטריצה המקורית של 3 x 3 שהקיפת קודם לכן את השורה או העמודה. חזור על אותו תהליך עם האלמנט:
-
חתכו את השורה והעמודה של האלמנט.
במקרה זה, בחר את הרכיב א12 (ששווה 5). חצו את השורה הראשונה (1 5 3) ואת העמודה השנייה (5 4 6).
-
הפוך את האלמנטים הנותרים למטריצה 2x2.
בדוגמה שלנו, מטריצת הסדר 2x2 עבור האלמנט השני היא [24 72].
-
קבע את הקובע של מטריצת 2x2 זו.
השתמש בנוסחת ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
-
הכפל במרכיבי המטריצה 3x3 שבחרת.
-24 * 5 = -120
-
החליטו אם להכפיל את התוצאה לעיל ב- -1 או לא.
השתמש בטבלת סמלים או נוסחאות (-1)ij. בחר רכיב א12 מסומל - בטבלת הסמלים. החלף את סמל התשובה שלנו ב: (-1)*(-120) = 120.
שלב 7. חזור על אותו תהליך עבור האלמנט השלישי
יש לך עוד מקדם אחד לקבוע את הקובע. ספר i עבור הרכיב השלישי בשורת ההפניה או בעמודה שלך. להלן דרך מהירה לחישוב קופקטור א13 בדוגמה שלנו:
- חצו את השורה הראשונה והעמודה השלישית כדי לקבל [24 46].
- הקובע הוא 2*6 - 4*4 = -4.
- הכפל ביסוד א13: -4 * 3 = -12.
- יסוד א13 סמל + בטבלת הסמלים, כך שהתשובה היא - 12.
שלב 8. הוסף את התוצאות של שלוש הספירות שלך
זהו השלב האחרון. חישבת שלושה מקדמים, אחד לכל רכיב בשורה או בעמודה. הוסף את התוצאות האלה ותמצא את הקובע של מטריצה 3 x 3.
בדוגמה, הקובע של המטריצה הוא - 34 + 120 + - 12 = 74.
חלק 2 מתוך 2: ביצוע פתרון בעיות קל יותר
שלב 1. בחר בשורה או בעמודה של הפניות בעלות מספר ה- 0 הגבוה ביותר
זכור, אתה יכול לבחור כל שורה או עמודה שאתה רוצה. לא משנה מה תבחר התשובה תהיה זהה. אם אתה בוחר שורה או עמודה עם המספר 0, עליך לחשב רק את מקדם הפקטור עם רכיבים שאינם 0 מכיוון:
- לדוגמה, בחר בשורה השנייה הכוללת את האלמנט a21, א22, קרן23. כדי לפתור בעיה זו נשתמש ב -3 מטריצות 2 x 2 שונות, נניח A21, א22, אתה23.
- הקובע של מטריצת 3x3 הוא א21| א21| - א22| א22| + א23| א23|.
- אם22 קֶרֶן23 ערך 0, הנוסחה הקיימת תהיה a21| א21| - 0*| א22| + 0*| א23| = א21| א21| - 0 + 0 = א21| א21|. לכן, נחשב רק את הקופקטור של אלמנט אחד בלבד.
שלב 2. השתמש בשורות נוספות כדי להקל על בעיות המטריצה
אם תיקח את הערכים משורה אחת ותוסיף אותם לשורה אחרת, הקובע של המטריצה לא ישתנה. אותו דבר לגבי עמודות. אתה יכול לעשות זאת שוב ושוב או להכפיל בקבוע לפני הוספתו כדי לקבל כמה שיותר 0 במטריצה. זה יכול לחסוך הרבה זמן.
- לדוגמה, יש לך מטריצה עם 3 שורות: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- כדי לחסל את המספר 9 שנמצא במיקום א11, אתה יכול להכפיל את הערך בשורה השנייה ב- -3 ולהוסיף את התוצאה לשורה הראשונה. כעת, השורה הראשונה החדשה היא [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- למטריצה החדשה יש שורות [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. השתמש באותו טריק בעמודות כדי ליצור א12 להיות המספר 0.
שלב 3. השתמש בשיטה המהירה עבור מטריצות משולשות
במקרה מיוחד זה, הקובע הוא תוצר האלמנטים באלכסון הראשי, של א11 בצד שמאל למעלה עד א33 בפינה הימנית התחתונה של המטריצה. מטריצה זו היא עדיין מטריצה 3x3, אך למטריצת "המשולש" יש תבנית מספרים מיוחדת שאינה 0:
- מטריצה משולשת עליונה: כל האלמנטים שאינם 0 נמצאים באלכסון הראשי ומעלה. כל המספרים מתחת לאלכסון הראשי הם 0.
- מטריצה משולשת תחתונה: כל האלמנטים שאינם 0 נמצאים באלכסון הראשי או מתחת לו.
- מטריצה אלכסונית: כל האלמנטים שאינם 0 נמצאים באלכסון הראשי (קבוצת המשנה של סוגי המטריצות לעיל).
טיפים
- אם כל האלמנטים בשורה או בעמודה הם 0, הקובע של המטריצה הוא 0.
- ניתן להשתמש בשיטה זו בכל הגדלים של מטריצות ריבועיות. לדוגמה, אם אתה משתמש בשיטה זו עבור מטריצה של סדר 4x4, ה"שביתה "שלך תשאיר מטריצה של סדר 3x3 שאת קביעתה ניתן לקבוע על ידי ביצוע השלבים שלמעלה. זכור, זה יכול להיות משעמם!
