שני שברים שווים אם יש להם אותו ערך. לדעת כיצד להמיר שברים לצורות השוות שלהם היא מיומנות מתמטית חשובה ביותר, הנדרשת לכל צורות המתמטיקה החל מאלגברה בסיסית לחשבון מתקדם. מאמר זה יספק מספר דרכים לחישוב שברים מקבילים החל מכפל וחלוקה בסיסיים ועד דרכים מורכבות יותר לפתרון משוואות שברים שוות.
שלב
שיטה 1 מתוך 5: סידור שברים מקבילים
שלב 1. הכפל את המונה והמכנה באותו מספר
לשני שברים שונים אך שווים יש בהגדרנו מונה ומכנה שהם כפולים זה מזה. במילים אחרות, הכפלת המונה והמכנה של שבר באותו מספר תייצר שברים שווים. למרות שהמספרים בשבר החדש יהיו שונים, השברים יהיו בעלי אותו ערך.
- לדוגמה, אם ניקח את השבר 4/8 ונכפיל את המונה והמכנה ב -2, נקבל (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. שני שברים אלה שווים.
- (4 × 2)/(8 × 2) זהה למעשה ל -4/8 × 2/2. זכור כי כאשר מכפילים שני שברים, אנו מכפילים ישר, כלומר המונה במונה והמכנה במכנה.
- שים לב כי 2/2 שווה 1 אם אתה עושה את החלוקה. לפיכך, קל יותר להבין מדוע 4/8 ו- 8/16 שווים כיוון שכפל 4/8 × (2/2) = נשאר 4/8. באותו אופן, זהה לאומרת 4/8 = 8/16.
- לכל חלק נתון יש מספר אינסופי של שברים שווים. אתה יכול להכפיל את המונה והמכנה בכל מספר שלם, ללא קשר לגודל או קטן, כדי לקבל חלק שווה.
שלב 2. חלק את המונה והמכנה באותו מספר
בדומה לכפל, ניתן להשתמש בחלוקה גם למציאת שבר חדש השווה לשבר המקורי שלך. פשוט חלק את המונה ואת המכנה של השבר באותו מספר כדי לקבל את השווה המקביל. יש חיסרון אחד בתהליך זה - השבר הסופי חייב להיות מספר שלם הן במונה והן במכנה כדי להיות נכון.
לדוגמה, הבה נסתכל אחורה על 4/8. אם, במקום להכפיל, נחלק את המונה והמכנה ב -2, נקבל (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 ו -4 הם מספרים שלמים, ולכן השברים המקבילים הללו נכונים
שיטה 2 מתוך 5: שימוש בכפל בסיסי לקביעת שוויון
שלב 1. מצא את המספר שיש להכפיל אותו במכנה הקטן יותר בכדי לקבל את המכנה הגדול יותר
בעיות רבות בנוגע לשברים כרוכות בקביעה אם שני שברים שווים. על ידי חישוב מספר זה, אתה יכול להתחיל להשוות את המונחים השברים כדי לקבוע שוויון.
- לדוגמה, שימוש חוזר בשברים 4/8 ו- 8/16. המכנה הקטן יותר הוא 8 ועלינו להכפיל את המספר ב -2 כדי לקבל את המכנה הגדול יותר, שהוא 16. אז המספר במקרה זה הוא 2.
- למספרים קשים יותר, ניתן לחלק את המכנה הגדול יותר במכנה הקטן יותר. במקרה זה, 16 מחולק ל -8, שעדיין מניב 2.
- המספר אינו תמיד מספר שלם. לדוגמה, אם המכנים הם 2 ו -7, אז המספר הוא 3, 5.
שלב 2. הכפל את המונה והמכנה של השבר בעל המונח הקטן במספר מהשלב הראשון
שני שברים שונים אך שווים יש להם, בהגדרה, מונה ומכנה שהם כפולים זה מזה. במילים אחרות, הכפלת המונה והמכנה של השבר באותו מספר תייצר שוויון שווה ערך. למרות שהמספרים בשבר החדש הזה יהיו שונים, לשברים אלה יהיה אותו ערך.
לדוגמה, אם נשתמש בשבר 4/8 משלב ראשון ונכפיל את המונה והמכנה במספר שהגדרנו קודם, שהוא 2, נקבל (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. תוצאה זו מוכיחה ששני השברים הללו שווים.
שיטה 3 מתוך 5: שימוש בחלוקה בסיסית לקביעת שוויון
שלב 1. ספור כל שבר כמספר עשרוני
עבור שברים פשוטים ללא משתנים, אתה יכול לייצג כל שבר כמספר עשרוני כדי לקבוע את השוויון. מכיוון שכל חלק הוא למעשה בעיית חלוקה, זו הדרך הפשוטה ביותר לקבוע שוויון.
- לדוגמה, השתמש בשבר בו השתמשנו קודם לכן, 4/8. השבר 4/8 שקול לאמירה 4 מחולק ב- 8, שהוא 4/8 = 0.5. ניתן גם לפתור את הדוגמה השנייה, שהיא 8/16 = 0.5. לא משנה מה המונחים בשבר, השבר שווה ערך אם שני המספרים זהים כאשר הם מיוצגים בעשרוני.
- זכור כי ביטויים עשרוניים יכולים להכיל מספר ספרות רבות לפני שהשיוויון ברור. כדוגמה בסיסית, 1/3 = 0.333 חוזרים ואילו 3/10 = 0.3. שימוש ביותר מספר אחת, אנו רואים ששני השברים הללו אינם שווים.
שלב 2. חלקו את המונה ואת המכנה של השבר באותו מספר כדי לקבל חלק שווה
עבור שברים מורכבים יותר, שיטת החלוקה דורשת צעדים נוספים. בעוד שבכפל אתה יכול לחלק את המונה והמכנה של השבר באותו מספר כדי לקבל חלק שווה. יש חסרון אחד בתהליך זה. השבר הסופי חייב להכיל מספרים שלמים הן במונה והן במכנה כדי להיות נכון.
לדוגמה, הבה נסתכל אחורה על 4/8. אם, במקום להכפיל, נחלק את המונה והמכנה ב -2, נקבל (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 ו -4 הם מספרים שלמים, ולכן השברים המקבילים הללו נכונים.
שלב 3. פשט את השברים למונחים הפשוטים ביותר שלהם
רוב השברים נכתבים בדרך כלל במונחים הפשוטים ביותר שלהם, וניתן להמיר שברים לצורתם הפשוטה ביותר על ידי חלוקה בגורם המשותף הגדול ביותר (GCF). שלב זה מתבצע באותו היגיון כמו כתיבת שברים שווים, המרתם לאותו מכנה, אך שיטה זו מנסה לפשט כל שבר למונחים הקטנים ביותר האפשריים שלו.
- כאשר השבר הוא בצורתו הפשוטה ביותר, למונה ולמכנה יש את הערכים הקטנים ביותר האפשריים. לא ניתן לחלק את שניהם במספר שלם כדי לקבל את הערך הקטן יותר. כדי להמיר חלק שאינו בצורתו הפשוטה לצורתו המקבילה הפשוטה ביותר, אנו מחלקים את המונה והמכנה בגורם המשותף הגדול ביותר שלהם.
-
הגורם המשותף הגדול ביותר (GCF) של המונה והמכנה הוא המספר הגדול ביותר המחלק אותם כדי לתת תוצאה שלמה. אז, בדוגמא 4/8 שלנו, כי
שלב 4. הוא המספר הגדול ביותר הניתן לחלוקה ב- 4 ו -8, נחלק את המונה והמכנה של השבר שלנו ב- 4 כדי לקבל את המונחים הפשוטים ביותר. (4 4)/(8 4) = 1/2. בדוגמה אחרת שלנו, 8/16, ה- GCF הוא 8, שמחזיר גם את הערך 1/2 כביטוי הפשוט ביותר לשבר.
שיטה 4 מתוך 5: שימוש במוצרים צולבים לאיתור משתנים
שלב 1. מסדרים את שני השברים כך שיהיו שווים זה לזה
אנו משתמשים בכפל צולב לבעיות מתמטיות שבהן אנו יודעים שהשברים שווים, אך אחד המספרים הוחלף במשתנה (בדרך כלל x) שעלינו לפתור. במקרים כאלה, אנו יודעים ששברים אלה שווים מכיוון שהם המונחים היחידים בצד השני של סימן השווים, אך לרוב הדרך למצוא את המשתנה אינה ברורה. למרבה המזל, עם ריבוי צולב, קל לפתור בעיות מסוג זה.
שלב 2. קח שני שברים שווים וכפל אותם בצורת "X"
במילים אחרות, אתה מכפיל את המונה של שבר אחד במכנה של שבר אחר ולהיפך, ואז מסדר את שתי התשובות כך שיתאימו אחת לשנייה וייפתרו.
קח את שתי הדוגמאות שלנו, 4/8 ו- 8/16. לשניהם אין משתנה, אבל אנחנו יכולים להוכיח את הרעיון כי אנחנו כבר יודעים שהם שווים. על ידי הכפלה צולבת נקבל 4/16 = 8 x 8, או 64 = 64, וזה נכון. אם שני המספרים הללו אינם שווים, אז השברים אינם שווים
שלב 3. הוסף משתנים
מכיוון שכפל צולב הוא הדרך הקלה ביותר לקבוע שברים שווים כשאתה צריך למצוא משתנים, הבה להוסיף משתנים.
-
לדוגמה, בואו נשתמש במשוואה 2/x = 10/13. כדי לחצות את הכפל, נכפיל 2 ב -13 ו -10 ב- x, ואז נקבע את התשובות שלנו שוות זו לזו:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. מכאן, מציאת התשובה למשתנה שלנו היא בעיית אלגברה פשוטה. x = 26/10 = 2, 6, מה שהופך את החלק המקביל ההתחלתי 2/2, 6 = 10/13.
שלב 4. השתמש בכפל צולב עבור שברים מרובי משתנים או ביטויים משתנים
אחד הדברים הטובים ביותר בכפל צולב הוא שזה למעשה עובד באותו אופן, בין אם אתה עובד עם שני שברים פשוטים (כמו לעיל) או שברים מורכבים יותר. לדוגמה, אם לשני השברים יש משתנים, עליך רק לחסל משתנים אלה בתהליך הפתרון. באופן דומה, אם למונה או למכנה של השבר שלך יש ביטוי משתנה (כמו x + 1), פשוט "הכפל" אותו באמצעות המאפיין החלוקתי ופתור כרגיל.
-
לדוגמה, בואו נשתמש במשוואה ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). במקרה זה, כאמור, נפתור את זה לפי מוצר חוצה:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, אז נוכל לפשט את השבר על ידי חיסור 2x משני הצדדים
- 2 = 2x + 12, ואז נבודד את המשתנה על ידי הפחתת 12 משני הצדדים
- -10 = 2x, וחלק ב- 2 כדי למצוא x
- - 5 = x
שיטה 5 מתוך 5: שימוש בנוסחאות ריבועיות לאיתור משתנים
שלב 1. חוצים את שני השברים
לבעיות שוויון הדורשות נוסחה ריבועית, אנו עדיין מתחילים להשתמש במוצר צולב. עם זאת, כל מוצר חוצה הכולל הכפלת מונחי המשתנה במונחים של משתנה אחר עשוי להביא לביטוי שלא ניתן לפתור אותו בקלות באמצעות אלגברה. במקרים כאלה, ייתכן שיהיה עליך להשתמש בטכניקות כגון פקטורינג ו/או נוסחאות ריבועיות.
-
לדוגמה, בואו נסתכל על המשוואה ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). ראשית, נחצה את הכפל:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
שלב 2. כתוב את המשוואה כמשוואה ריבועית
בחלק זה, נרצה לכתוב את המשוואה הזו בצורה ריבועית (ax2 + bx + c = 0), שאנו עושים על ידי הגדרת המשוואה שווה לאפס. במקרה זה, אנו מפחיתים 12 משני הצדדים כדי לקבל 2x2 - 14 = 0.
כמה ערכים עשויים להיות שווים ל 0. למרות ש 2x2 - 14 = 0 היא הצורה הפשוטה ביותר של המשוואה שלנו, המשוואה הריבועית האמיתית היא 2x2 + 0x + (-14) = 0. זה עשוי להועיל בתחילת הדרך לרשום את צורת המשוואה הריבועית גם אם כמה ערכים שווים ל- 0.
שלב 3. פתור על ידי חיבור המספרים מהמשוואה הריבועית שלך לנוסחה הריבועית
נוסחה ריבועית (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) יעזור לנו למצוא את ערך x שלנו בסעיף זה. אל תפחד מאורך הנוסחה. אתה פשוט לוקח את הערכים מהמשוואה הריבועית שלך בשלב השני ושם אותם במקומות הנכונים לפני שאתה פותר אותם.
- x = (-b +/- (ב2 - 4ac))/2a. במשוואה שלנו, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 ו- c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2, 64
שלב 4. בדוק את התשובה שלך על ידי הזנת הערך של x למשוואה הריבועית שלך
על ידי חיבור ערך x המחושב למשוואה הריבועית משלב שני, תוכל לקבוע בקלות אם קיבלת את התשובה הנכונה. בדוגמה זו, תחבר את 2, 64 ו- -2, 64 למשוואה הריבועית המקורית.
טיפים
- המרת שבר למקבילה שלו היא למעשה צורה של הכפלת שבר ב- 1. בהמרת 1/2 ל 2/4, הכפלת המונה והמכנה ב- 2 זהה להכפלת 1/2 ב- 2/2, השווה ל- 1.
-
אם תרצה, המר את המספר המעורב לשבר נפוץ כדי להקל על ההמרה. כמובן, לא כל השברים שאתה נתקל בהם יהיו קלים כמו המרת דוגמא 4/8 שלנו למעלה. לדוגמה, מספרים מעורבים (כגון 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 וכו ') יכולים להפוך את תהליך ההמרה למעט יותר מסובך. אם עליך להמיר מספר מעורב לשבר משותף, תוכל לעשות זאת בשתי דרכים: על ידי המרת המספר המעורב לשבר משותף, ולאחר מכן המרתו כרגיל, אוֹ על ידי שמירה על צורת המספרים המעורבים וקבלת תשובות בצורה של מספרים מעורבים.
- כדי להמיר לשבר משותף, הכפל את רכיב המספר השלם של המספר המעורב במכנה של הרכיב השברי ולאחר מכן הוסף למספר. לדוגמה, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. לאחר מכן, אם תרצה, תוכל לשנות אותו לפי הצורך. לדוגמה, 5/3 × 2/2 = 10/6, שנותר שווה ל 1 2/3.
- עם זאת, איננו צריכים להמיר אותו לשבר נפוץ כאמור לעיל. אחרת, אנו משאירים את רכיב המספר השלם לבד, משנים רק את הרכיב השברי ומוסיפים את רכיב המספר השלם ללא שינוי. לדוגמה, עבור 3 4/16, אנו רואים רק 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. אז, על ידי הוספת רכיבי המספר השלם שלנו בחזרה, נקבל מספר מעורב חדש, 3 1/4.
אַזהָרָה
- ניתן להשתמש בכפל וחילוק כדי לקבל שברים שווים כיוון שכפל וחילוק עם הצורה השברירית של המספר 1 (2/2, 3/3 וכו ') נותן תשובה המקבילה לשבר המקורי, בהגדרה. לא ניתן להשתמש בחיבור ובחיסור.
-
למרות שאתה מכפיל את המונים והמכנים כאשר אתה מכפיל שברים, אינך מוסיף או מחסר את המכנים כאשר אתה מוסיף או מחסר שברים.
לדוגמה, למעלה, אנו יודעים כי 4/8 4/4 = 1/2. אם נוסיף עד 4/4, נקבל תשובה אחרת לגמרי. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 אוֹ 3/2, הם אינם שווים ל- 4/8.
